三維網格去噪算法（L0 Minimization）

　　[He et al. 2013]文章提出了一種基於L₀范數最小化的三角網格去噪算法。該思想最初是由[Xu et al. 2011]提出並應用於圖像平滑，假設c為圖像像素的顏色向量，▽c為顏色向量的梯度，設置目標函數為：min_c |c – c*|² + |▽c|₀，其中|▽c|₀為▽c的L₀范數，c*為原始圖像的顏色向量。通過引入輔助變量δ，優化函數變為：min_c,δ |c – c*|² + β|▽c – δ|² + λ|δ|₀，其中λ用於控制最終圖像的平滑程度。優化過程分兩步：第一步固定c優化δ，即min_δ β|▽c – δ|² + λ|δ|₀；第二步固定δ優化c，即min_c |c – c*|² + β|▽c – δ|²。然后循環迭代這兩步，每次迭代中β乘以2，使得最終▽c ≈ δ。

　　當將L₀范數最小化的思想應用於三角網格去噪時，網格頂點坐標p可以代替c，但是還需要設置一個離散微分算子來代替▽c，其滿足網格平坦區域值為0，其中一個選擇就是離散Laplacian算子。文章提出了一種應用於網格邊的微分算子D(e)，其表達式為：

            

　　但是當有角度接近0時，微分算子的權重會變成inf，因此文章又提出了一種優化后的微分算子表達式：

 

微分算子D(e)中的符號說明

　　對於非均勻噪聲網格，文章在優化過程中加入了正則化項R(e) = (p₁ – p₂ + p₃ – p₄)²，於是優化目標變為：min_p,δ |p – p*|² + α|R(p)|² + β|D(p) – δ|² + λ|δ|₀，其中p*為初始網格頂點坐標，D(p)代表與p相關的表達式，其第i項對應第i條邊的微分算子，R(p)的第i項對應第i條邊的正則項。同樣優化過程分兩步：第一步固定p優化δ，即min_δ β|D(p) – δ|² + λ|δ|₀，當，δ_i = 0，否則δ_i = D_i；第二步固定δ優化p，即min_p |p – p*|² + α|R(p)|² + β|D(p) – δ|²，相當於求解稀疏矩陣方程組。然后循環迭代上述兩個步驟直到達到預定條件。

效果：

本文為原創，轉載請注明出處：http://www.cnblogs.com/shushen。

 

 

參考文獻：

[1] Lei He and Scott Schaefer, "Mesh denoising via L0 minimization," ACM Trans. Graph. 32, 4, Article 64 (July 2013), 8 pages, 2013.
[2] Li Xu, Cewu Lu, Yi Xu, and Jiaya Jia, "Image smoothing via L0 gradient minimization," In Proceedings of the 2011 SIGGRAPH Asia Conference (SA '11). ACM, New York, NY, USA, , Article 174 , 12 pages, 2011.