三維網格去噪算法（two-step framework）

　　基於兩步法的網格去噪算法顧名思義包含兩個步驟：首先對網格表面的法向進行濾波，得到調整后的網格法向信息，然后根據調整后的法向更新頂點坐標位置，下面介紹三篇該類型的文章。

　　[Sun et al. 2007]文章首先介紹了當前法向濾波方法以及頂點坐標更新方法，然后提出自己的法向濾波方法和頂點坐標更新方法。

　　法向濾波方法：

　　1.均值濾波（mean filter）：n_i^’ = normalize(Σ_j∈N(i) A_j·n_j / Σ_j∈N(i) A_j)，均值濾波會破壞網格的細節特征。

　　2.中值濾波（median filter）：n_i^’ = arg median_nj {w_j⊙∠(n_i, n_j) : j∈N(i)}，中值濾波能夠保持網格的細節特征，但當網格噪聲較大時，效果並不好。

　　3.α-截尾濾波（alpha-trimming filter）：n_i^’ = normalize(Σ_j∈N(i) I_α(j) ·A_j·n_j)，∠(n_i, n_j)角度值前α比例和后α比例對應的I_α(j)為0，當α = 0時等同於均值濾波，當α = 0.5時等同於中值濾波。

　　4.模糊矢量中值濾波（fuzzy vector median filter）：先使用矢量中值濾波n_m = arg min_nj {Σ_k∈N(i) d(n_j, n_k) : j∈N(i)}，其中d(n_j, n_k)為n_j和n_k的L_p范數或∠(n_j, n_k)角度值，然后再使用高斯濾波n_i^’ = normalize(Σ_j∈N(i) n_j·exp(-d(n_j, n_m)²/2σ²))。模糊矢量中值濾波可以得到誤差較小的法向，但會增加計算量。

　　5.[Sun et al. 2007]文章法向濾波方法：n_i^’ = normalize(Σ_j∈N(i) h_j·n_j)，權重定義為，其中N(i)為三角片f_i的鄰域三角片集，有兩種選擇，見下圖，f(x) = x²，0 ≤ T ≤ 1，T的取值決定了鄰域三角片N(i)中有多少三角片法向會參與計算，當T = 1時，只有與n_i相等的鄰域三角片法向會參與計算，而當T = 0時，所有鄰域三角片法向都會參與計算。當網格有明顯棱邊時，T可以取相對較小值，而當網格比較光滑時，T可以取相對較大值。

 

Ⅰ基於頂點（vertex based）的三角片鄰域；Ⅱ表示基於邊（edge based）的三角片鄰域

　　頂點坐標更新方法：

　　1.求解線性方程組：

 

　　2.梯度下降法：

 

其中N_v(i)為頂點i的1環鄰域頂點集。

　　3. [Sun et al. 2007]文章頂點更新方法：

 

其中F_v(i)為頂點i的1環鄰域三角片集。

效果：

 

　　[Zheng et al. 2011]文章提出了兩種三角片法向更新方法，而其頂點坐標更新方法采用和[Sun et al. 2007]文章一樣的方法。

　　1.Local and Iterative Scheme：

　　該方法采用對法向進行雙邊濾波：n_i^t+1 = K_i·Σ_j∈N(i) w_ij·n_j^t，其中N(i)為三角片f_i的鄰域三角片集，K_i為歸一化系數，w_ij = ξ_ij·W_c·W_s，ξ_ij為三角片f_j的面積S_i，空間域核W_c(||c_i – c_j||) = exp(-||c_i – c_j||²/2σ_c²)，值域核W_s(||n_i – n_j||) = exp(-||n_i – n_j||²/2σ_s²)。

　　2. Global and Non-Iterative Scheme：

　　該方法通過求解線性方程組來最小化目標函數，相對於上面的顯式更新頂點坐標方法，該方法是一種對應的隱式更新頂點坐標方法，目標函數如下：

 

其中A_i = S_i/mean({S})，上式等同於求解線性方程組，但是方程不滿秩，需要加入軟約束條件：E_d = Σ_i A_i·||n_i^’ – n_i||²。最后優化目標為：argmin(1 - λ) ·E_s + λ·E_d，其中λ∈[0, 1]，用於控制網格的光滑程度。

效果：

 

 

　　[Zhang et al. 2015]文章提出了一種三角片法向更新方法，該方法與[Zheng et al. 2011]文章的方法一相似，不同的是[Zheng et al. 2011]文章采用原始法向作為雙邊濾波中的值域信息，而[Zhang et al. 2015]文章對原始法向進行引導濾波（guided filter）得到新的法向作為值域信息。而其頂點坐標更新方法同樣采用和[Sun et al. 2007]文章一樣的方法。

 

其中N_i為三角片f_i的鄰域三角片集，W_i為歸一化系數，A_j為三角片f_j的面積，空間域核K_s和值域核K_r都為高斯核函數。

　　關鍵如何計算三角片f_i的引導法向（guidance）g_i，文章提出對於三角片f_i，在其周圍尋找一個包含三角片f_i的區域，使該區域內的三角片法向變化最小，然后將這個區域里的所有三角片法向進行加權平均作為三角片f_i的引導法向。具體來說，定義P_k為與三角片f_i擁有共同頂點的三角片集{f_k}，那么三角片f_i的候選區域（candidate patch）為C(f_i) = {P_k∣f_i∈P_k}。對於每個區域P∈C(f_i)，計算區域P內三角片法向的一致性（consistency）：H(P) = Ф(P)·R(P)，其中Ф(P)為區域P內三角片法向的最大偏差：Ф(P) = max_fj,fk∈P ||n_j – n_k||，R(P)為區域P內相鄰三角片法向的相對變化程度：，式中φ(e_j) = ||n_j1 – n_j2||。然后選取其中一致性函數H(P)最小的區域P^*，並對其中的三角片法向作面積加權平均，即得到三角片f_i的引導法向g_i：g_i = normalize(Σ_fj∈P* A_j·n_j)。

效果： 

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參考文獻：

[1] Xianfang Sun; Rosin, P.L.; Martin, R.R.; Langbein, F.C., "Fast and Effective Feature-Preserving Mesh Denoising," Visualization and Computer Graphics, IEEE Transactions, vol.13, no.5, pp.925-938, Sept.-Oct. 2007.

[2] Youyi Zheng; Hongbo Fu; Au, O.K.-C.; Chiew-Lan Tai, "Bilateral Normal Filtering for Mesh Denoising," Visualization and Computer Graphics, IEEE Transactions, vol.17, no.10, pp.1521-1530, Oct. 2011.

[3] Wangyu Zhang, Bailin Deng, Juyong Zhang, Sofien Bouaziz, Ligang Liu, "Guided Mesh Normal Filtering," Computer Graphics Forum (Proc. Pacific Graphics), 34(7): 23–34, 2015.