實驗報告：二叉樹創建與遍歷
一、問題描述
二叉樹是一種實用范圍很廣的非線性結構，一棵非空二叉樹有也只有一個根結點，每個結點最多有兩個子樹，我們稱為左子樹與右子樹，當一個結點的左、右子樹都是空的時，沃恩稱此結點為葉子結點。
二叉樹有一些很好的性質，這里不再贅述。考慮如何存儲一棵樹，本實驗選擇使用鏈式存儲結構——二叉鏈表；如果事先知道需要存儲的二叉樹是滿二叉樹或者完全二叉樹，則可以考慮使用順序存儲，否則將浪費大量的存儲空間。
對於一棵既成的二叉樹，有三種遍歷方式——先序、中序與后序。可以證明，一棵形態固定的二叉樹與先序遍歷、后序遍歷生成的序列是1-1對應的，基於這一點，我們可以從先序序列或后序序列出發得到唯一與之對應的二叉樹。這是本實驗創建二叉樹的理論基礎。
值得注意的是，一個中序遍歷序列與二叉樹並不是1-1對應的關系，也就是說一個中序序列對應的二叉樹的形態並不固定，即使像本實驗中這樣添加了虛空結點也不是1-1對應的，所以中序列並不能夠生成一棵二叉樹。
本實驗主要給出先序創建二叉樹，以及中序遍歷該樹。
二、數據結構——二叉鏈表
二叉鏈表是二叉樹的鏈式存儲結構，其結構與二叉樹的性質有天然的契合。
我們知道，二叉樹的結點需要保存的信息有：當前結點的信息、左子樹、右子樹。基於如此的結構，我們在一個結點處分為數據域和指針域：數據域保存該結點自身的信息；指針域分為左、右指針域，分別指向該結點的左、右子樹；有必要時可以加上一個鏈域指向該結點的父親結點（雙親結點），當然這樣就成了三叉鏈表。三叉鏈表與二叉鏈表沒有太大的差別，只是三叉鏈表在具體操作涉及到尋找結點的祖先時會有優勢，比如尋找最近公共祖先（lca），這與本實驗無關，不再贅述。
值得注意的是，當結點的某個子樹不存在時，指向該結點的指針域應該是NULL的。有個小技巧是，可以人為定義一個“空指針域”，應該指向NULL的時候都指向這個所謂的“空結點”，可以一定程度上避免指針訪問越界的錯誤。
三、算法的設計和實現
這個算法的思想非常簡單。本實驗可以分為兩部分——創建二叉樹與遍歷二叉樹。
1、創建二叉樹（以先序序列為例）
樹的序列生成是一個遞歸的過程，所以以遍歷序列創建樹的時候也需要遞歸生成這棵樹。
以先序序列為例，如果當前標號非空，那么我們得到的就是當前結點的數據，保存該數據后，下一個數據——無論是虛空結點還是真實的數據——是左子樹的數據，所以我們將遞歸到左子樹中；如果當前標號是空的，即虛空結點，表示此處不存在結點，返回NULL即可；當前結點的左子樹遞歸返回后進入右子樹遞歸；返回該結點的地址，結束。
可以看出這就是一個模擬生成先序序列的過程，着眼於一個結點來說，就是先訪問當前子樹的根節點，然后左子樹，再右子樹，最后返回。
后序序列也可以類似地生成，具體細節將在下面提到。
2、遍歷二叉樹（以中序遍歷為例）
與樹的創建相似，二叉樹的遍歷同樣是一個遞歸的過程。
以中序序遍歷為例，如果左子樹非空，則遞歸進入左子樹；輸出當前結點的標號；如果右子樹非空，則遞歸進入右子樹；結束。如果不是需要輸出序列，而是想得到這個序列，那么很自然地可以想到棧，將輸出標號的操作改為將標號壓棧即可，別的操作不改動。
遍歷二叉樹的意義重大，比如中序遍歷一棵排序二叉樹，得到的就是保存的有序的序列。
四、預期結果和實驗中的問題
1、預期結果：
程序能夠根據輸入的先序序列（帶有虛空結點），正確地生成對應的二叉樹，並正確地輸出中序遍歷序列。下圖是一個生成三序的例子。
2、實驗中的問題及一些說明：
（1）如果沒有虛空結點，能否通過三序得到唯一對應的二叉樹？
答案是肯定的。下面將簡單地說明如何利用先序序列和中序序列得到對應的二叉樹。
A）分析：
對於一個先序序列來說，第一個結點一定是根結點，它的右邊是左子樹的先序序列，然后是右子樹的先序序列。這里的問題在於，無法找到左、右子樹序列的分界點，換句話說，僅靠一個先序序列我們無法得到對應的二叉樹。
這時我們再對中序序列的構成分析，我們可以在中序序列中找到根結點（根結點的標號已經在先序序列中得到了），它的左邊是左子樹的中序序列，右邊是右子樹的中序序列。
這時候我們發現，這里出現了一個子結構。因為一棵樹（子樹）的三序序列長度是相等的，所以我們可以得到左、右子樹的先序序列，從而對於任一子樹來說，我們得到了它的先序序列和中序序列，問題轉換成了相似的子問題。
B）實現：
a）先序序列第一個結點找到根結點；
b）在中序序列中找到該結點（此處可以順序查找，找到結束即可；當數據量比較大時推薦使用二分法查找），得到左、右子樹的結點數，從而分別得到左、右子樹對應的先序序列和中序序列；
c）分別遞歸進入左、右子樹，建樹。遞歸的邊界是葉子結點，它的先序和中序都是長度為1的自己的標號。
（2）包含虛空結點的后序序列如何生成對應的二叉樹？
有一個簡單的辦法，從后往前掃描后序序列，相當於是順序為“根結點-右子樹-左子樹”生成的序列。這個與先序序列生成對應二叉樹是一個鏡面的過程，不再贅述。
（3）中序序列能夠生成唯一對應的二叉樹嗎？
答案是否定的。中序序列與二叉樹並不是1-1對應的，下圖是一個例子：
這兩個都是合法的二叉樹，兩者的中序序列都是CBA，即使是加上了虛空結點，得到的中序序列也都是$C$B$A$（$表示空格，也就是虛空結點），所以中序序列與二叉樹不是1-1對應的，當然不能通過中序序列生成一棵唯一的二叉樹。
（2）能否不使用遞歸操作？
這個問題可以歸結為研究遞歸操作的本質。
遞歸操作實際上是一個對棧的操作，以先序遍歷二叉樹為例：將當前結點壓棧；如果左子樹非空，將左子樹壓棧；如果右子樹非空，將右子樹壓棧；如果左、右子樹都是空的，即當前結點為葉子結點，彈棧；當結點的左右子樹都完成了操作，彈棧。
於是我們得到了一個有意思的結果：所有的遞歸算法是可以有非遞歸調用的實現方式的（這里的非遞歸調用實現方式指的是遞歸調用函數，其本質應該還是遞歸）。當然，也不排除一些遞歸解決的問題同樣可以用遞推解決，比如漢諾塔問題，這里不贅述。
附：c++源代碼：
1 /* 2 項目：創建二叉樹，三序遍歷 3 作者：張譯尹 4 */ 5 #include <iostream> 6 #include <cstdio> 7 8 using namespace std; 9 10 template <class T> class BiTree 11 { 12 private: 13 T data; //根結點的標志 14 BiTree *lch, *rch; //左右兒子 15 public: 16 void InitBiTree() //初始化二叉鏈表 17 { 18 data = 0; 19 lch = rch = NULL; 20 } 21 BiTree* CreatBiTree() //先序（帶虛空結點）遞歸建立二叉鏈表 22 { 23 BiTree <char> *rt = new BiTree; 24 rt -> InitBiTree(); 25 char ch; 26 scanf("%c", &ch); 27 if(ch != ' ') //非空指針，遞歸建樹 28 { 29 rt -> data = ch; 30 rt -> lch = CreatBiTree(); 31 rt -> rch = CreatBiTree(); 32 } 33 else 34 { 35 delete rt; 36 rt = NULL; 37 } 38 return rt; 39 } 40 void PreOrderTraverse() //遞歸先序遍歷 41 { 42 printf("%c", data); 43 if(lch) 44 lch -> PreOrderTraverse(); 45 if(rch) 46 rch -> PreOrderTraverse(); 47 } 48 void InOrderTraverse() //遞歸中序遍歷 49 { 50 if(lch) 51 lch -> InOrderTraverse(); 52 printf("%c", data); 53 if(rch) 54 rch -> InOrderTraverse(); 55 } 56 void PostOrderTraverse() //遞歸后序遍歷 57 { 58 if(lch) 59 lch -> PostOrderTraverse(); 60 if(rch) 61 rch -> PostOrderTraverse(); 62 printf("%c", data); 63 } 64 }; 65 66 int main() 67 { 68 BiTree <char> *Tree; 69 //Tree -> InitBiTree(); 70 71 printf("請輸入二叉樹的先序列，結點用字母表示，空域用空格表示。\n"); 72 Tree = Tree -> CreatBiTree(); 73 74 printf("先序序列：\n"); 75 Tree -> PreOrderTraverse(); 76 printf("\n"); 77 78 printf("中序序列：\n"); 79 Tree -> InOrderTraverse(); 80 printf("\n"); 81 82 printf("后序序列：\n"); 83 Tree -> PostOrderTraverse(); 84 printf("\n"); 85 86 return 0; 87 }