堆排算法的分析與總結

　　關於對的算法思想，隨處都可以查到，下面總結下堆的算法。

　　堆排序和直接選擇排序都是選擇排序，即從未序區間中選擇最大或者最小的元素追加到已序區間的尾部，直到剩下一個元素。

　　直接選擇排序中，為了從R[1..n]中選出關鍵字最小的記錄，必須進行n-1次比較，然后在R[2..n]中選出關鍵字最小的記錄，又需要做n-2次比較。事實上，后面的n-2次比較中，有許多比較可能在前面的n-1次比較中已經做過，但由於前一趟排序時未保留這些比較結果，所以后一趟排序時又重復執行了這些比較操作。

　　堆排序可通過樹形結構保存部分比較結果，可減少比較次數。

　　堆排序算法的解析：

　　1、建初始堆（以大頂堆為例），這一步驟把初始序列建成了一個滿足大頂堆性質的序列，且每棵子樹都滿足。這個時候堆頂是本序列中最大的元素，因此將最后一個元素和堆頂元素調換，把最大值放到最終的位置上。建好了初始堆，就保留了排序時候的比較結果，后面的調整都可以再此基礎上進行，加快排序效率。

　　2、由於每次講堆頂元素和最后一個對調，破壞了堆的性質，因此要從新向下調整，建立大頂堆（這里在初始堆的基礎上，只要將堆頂元素調到合適位置即可）。

　　3、調整完了之后，又將堆頂元素與未序區間的最后一個元素對調。

　　4、重復2,3直到堆中剩余一個元素。

下面是對算法的代碼：

void HeapSort(ElemType A[],int len)
{
    BuilMaxHeap(A,len);//建立初始堆
    for(int i = len;i>1;i--)
    {
        A[0]=A[1];A[1]=A[i];A[i]=A[0];//堆頂和未序區間尾元素對調。
        AdjustDown(A,1,i-1);//調整未序區間，繼續下一次對調。從1 —— i-1是未序的。
    }
}

建立大頂堆的算法如下：

void BuildMaxHeap(ElemType A[],int len)
{
    for(int i=len/2;i>0;i--)//從最后一個父節點開始向前建堆
        AdjustDown(A,i,len);//向下調整
}

向下調整算法如下：

void AdjustDown(Elemtype A[],int k,int len)
{
    A[0]=A[k];//保存子堆的父節點
    for(int i=2*k;i<=len;i*=2)
    {
        if(i<len&&A[i]<A[i+1])//尋找較大的孩子
            i++;
        if(A[0]>A[i])//如果孩子節點沒有比父節點大，跳出循環
            break;
        else
        {
            A[k]=A[i];//孩子上調
            k=i;//孩子當下一個父親
        }
    }
    A[k]=A[0];//把子堆頂元素放在最終的位置
}

注意：堆的最重要的操作就是調整函數，即向下調整AjustDown()月AdjustUp()，其余操作都建立在這兩個操作之上。

刪除堆頂元素時，需要堆頂元素和堆的最后一個元素對換，然后將堆的長度減一。

對堆查入操作時，先將堆的新節點放在堆的末尾，在對這個新節點指向向上調整AdjustUp()操作。

下面是向上調整的堆算法：

 

void AdjustUp(Elentype A[],int k)//k為向上調整的節點，也為新堆的元素個數
{
    A[0]=A[k];
    int i = k/2;//i是k的雙親
    while(i>0&&A[i]<A[0])//如果雙親存在，且雙親小於孩子節點，執行循環體中的語句
    {
        A[k]=A[i];
        k=i;
        i=k/2;//尋找雙親的雙親，繼續向上比較
    }//如果不滿足while中的條件跳出，k的位置就是接下來新節點的位置。
    A[k]=A[0];//將新節點復制到最終位置上
}

 

堆的應用：

堆可以用來解決TOPK問題；優先級隊列的底層也是用堆來實現。