概率論和數理統計研究的是不確定事件的發生幾率問題。從十幾年前開始學習概率論到現在，說實在我學得並不夠好，雖然大概的東西掌握了，但是重點和難點還是沒有完全掌握，最近又在學習。不過我覺得我的概率論和數理統計之所以沒有學好，經過這么多年才能理解其中大多數內容與我們的許多老師教學有很大關系。所以，我今天就從玩撲克牌的例子就概率論的基本理論和大家交流，努力使這個學問變得有趣一點。
在玩撲克牌中有一種玩法我覺得很有規律性，也非常適合應用概率論來估算，這種玩法叫“扎金花”或者叫“開拖拉機”，就是給玩牌的人每人發三張撲克牌，然后每個人根據自己的牌大小在互相不知道大小的情況下下注，最后大者或者膽大者獲勝。牌的大小分為單牌、對子、順子、金花、順子金花、豹子。它們的意思分別是單牌：數字沒有相同的，花色至少兩種；對子：數字有兩個是相同的，花色至少兩種；順子：三張牌的數字是連續的，花色至少兩種；金花：數字沒有相同的，花色只有一種；順子金花：三張牌的數字是連續的，花色只有一種；豹子：三張牌的數字一樣，花色有三種（牌的數字是指從 A 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 、 10 、J 、 Q 、 k ）（牌的花色是指黑桃、紅桃、方塊和梅花四種，事件由一副牌發生，而且去掉了兩個王只有 52 張牌 ）。現在就來分析這種古典型概率事件的發生概率：
一、 一副牌中摸到三張 K 的概率
第一次摸牌是從 52 張牌中抽取黑桃、紅桃、方塊和梅花中的一張 K ，抽中的概率是 52 分之 4；第二次摸牌是從余下的 51 張牌中抽取余下的三張中的一張 K ，發生的概率是 51 分之 3 ；第三次摸牌是從余下的 5 0 張 牌中抽取余下的兩張中的一張 K ，發生的概率是 50 分之 2 。所以，一副牌中同時摸到三張 K 的概率是它們的積：
（ 4/52 ）×（ 3/51 ）×（ 2/50 ） =24/132600
二，一副牌中摸到豹子的概率
由於摸到豹子 K 的概率已經算出是 24/132600 ，那么摸到三張 A （豹子 A ）的概率也是24/132600 ，摸中 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 、 10 、 J 、 Q 的概率都是 24/132600 ，也就是說摸中從 A 到 K 共 13 種牌型的總概率為它們之和。即一副牌中摸到豹子的概率是：
13 ×（ 4/52 ）×（ 3/51 ）×（ 2/50 ） =312/132600=1/425
即就是說大約摸 425 次牌可以出現一次豹子。
三，一副牌摸中全部是紅桃（金花）的概率
第一次摸牌是從 52 張牌中抽取 13 張紅桃中的一張，抽中的概率是 52 分之 13 ；第二次摸牌是從余下的 51 張牌中抽取余下的 12 張紅桃中的一張，發生的概率是 51 分之 12 ；第三次摸牌是從余下的 50 張牌中抽取余下的 11 張紅桃中的一張，發生的概率是 50 分之 11 。所以，一副牌中同時是紅桃（金花）的概率是它們的積：
（ 13/52 ）×（ 12/51 ）×（ 11/50 ） =1716/132600
即就是說大約摸 78 次牌可以出現紅桃金花。
四，一副牌摸中全部是金花的概率
出現紅桃金花的概率是 1716/132600 ，同樣的道理，出現黑桃、方塊和梅花金花的概率也是1716/132600 。所以出現金花的概率是：
4 ×（ 13/52 ）×（ 12/51 ）×（ 11/50 ） =6864/132600
所以，金花出現的概率大約是 20 次就出現一次金花，是豹子出現概率的 22 倍。
五，一副牌摸中順子 234 的概率
第一次摸牌是從 52 張牌中抽取黑桃、紅桃、方塊和梅花四張 2 中的一張，抽中的概率是 52 分之 4 ；第二次摸牌是從余下的 51 張牌中抽取黑桃、紅桃、方塊和梅花四張 3 中的一張，發生的概率是 51 分之 4 ；第三次摸牌是從余下的 50 張牌中抽取黑桃、紅桃、方塊和梅花四張 4 中的一張，發生的概率是 50 分之 4 。所以，一副牌是順子 234 的概率是它們的積：
（ 4/52 ）×（ 4/51 ）×（ 4/50 ） =64/132600
即就是說大約摸 2072 次牌可以出現順子 234 。
七，一副牌摸中順子的概率
由於摸中順子 234 的概率是 64/132600 ，那么有多少順子呢，有 A23 、 234 、 345 、 456 、567 、 678 、 789 、 8910 、 910J 、 10JQ 、 JQK ，一共是十一（ 13 減 3 加 1 ）種順子，所以在以上計算的基礎上乘 11 。所以，一副牌是順子的概率是：
11 ×（ 4/52 ）×（ 4/51 ）×（ 4/50 ） =704/132600
即就是說大約摸 189 次牌可以出現一次順子。是金花出現概率的 9 分之一。
八，一副牌摸中對子 K 的概率
第一次摸牌是從 52 張牌中抽取黑桃、紅桃、方塊和梅花中的一張 K ，抽中的概率是 52 分之 4；第二次摸牌是從余下的 51 張牌中抽取余下的三張中的一張 K ，發生的概率是 51 分之 3 ；第三次摸牌是從余下的 50 張牌中抽取余下 50 張牌的除過 K 以外任意一張，發生的概率是 50 分之 48 。所以，一副牌中同時摸到對子 K 的概率是它們的積：
（ 4/52 ）×（ 3/51 ）×（ 48/50 ） =576/132600
九，一副牌摸中對子的概率
由於摸到對子 K 的概率已經算出是 576/132600 ，那么摸到對子 A （豹子 A ）的概率也是576/132600 ，摸中 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 、 10 、 J 、 Q 對子的概率都是576/132600 ，也就是說摸中從 A 到 K 共 13 種牌型的總概率為它們之和。即一副牌中摸到對子的概率是：
13 ×（ 4/52 ）×（ 3/51 ）×（ 48/50 ） =7488/132600=1/18
即就是說大約摸 18 次牌可以出現一次對子。
十，出現金花順子紅桃 234 的概率是
（ 1/52 ）×（ 1/51 ）×（ 1/50 ） =1/132600
出現紅桃 123 ， 234 ， 345 ， 456 ， 567 ， 678 ， 789 ， 8910 ， 910J ， 10JQ ， JQK 的概率是：
11 ×（ 1/52 ）×（ 1/51 ）×（ 1/50 ） =11/132600
出現黑桃、紅桃、方塊和梅花 123 ， 234 ， 345 ， 456 ， 567 ， 678 ， 789 ， 8910 ， 910J ，10JQ ， JQK 的概率是：
4 × 11 ×（ 1/52 ）×（ 1/51 ）×（ 1/50 ） =44/132600
就是說每 3014 次才能摸到一次金花順子。
其它情況下就是摸到單牌的概率，通常情況下人們對此不感興趣，所以不再計算。
綜上所述，對子出現概率是 1/18 ，金花出現的概率是 1/20 ，順子出現的概率是 1/189 ，豹子出現的概率是 1/425 ，金花順子出現的概率是 1/3014 。所以金花順子出現的概率最小。
以上所講簡單易懂，對於初學者很好掌握，但是缺點是不夠專業，而且計算復雜麻煩，如果用這種方法計算別的概率問題很容易錯誤。所以有必要把以上概率問題使用較為專業的術語和方法加以整理。
首先一個問題：玩撲克牌是排列問題還是組合問題？從 52 張撲克中發給 3 張牌，考慮不考慮這 3 張牌的發牌順序問題？例如發了個 234 ，那么是 2 先發的，還是 4 先發的？如果考慮發牌順序，那么三張牌的順序就是 3 × 2 × 1 種排列（用 3 ！表示，讀作 3 的階乘，又叫全排列），就是排列問題，從 52 張撲克中發給 3 張牌用 P 52 3 表示，意思是 52 × 51 × 50 ，用階乘表示就是 52 的階乘除以52-3=49 的階乘，即 52 ！ /49 ！。通常情況下，人們對於發牌順序不感興趣，只對是不是 234 感興趣，所以不考慮發牌順序問題，這個問題就是數學上的“組合”問題，組合問題一般用 C 表示，例如從 52 張牌中發取 3 張，它的可能性就是 C 52 3 ，其實就是 P 52 3 /3!,即52！/（49！×3！）。通常情況下從M個總體中不返回地抽取N個樣本進行排列用公式P M N 表示，它就等於M!除以（M－N）!，如果從M個總體中不返回地抽取N個樣本進行組合用公式C M N 表示，它就等於M!除以（M－N）!再除以N！。很顯然組合並不考慮N個樣本內部的順序問題，所以它比排列取得的數字小，但是得到的概率大。
第二個問題，玩撲克牌是返回抽樣還是不返回抽樣？發牌的時候考慮不考慮余下的牌的數量問題？實際上不管多少人玩撲克，發出去的撲克不再收回，發出去的牌和留下的撲克的總數是52，這種發牌就是抽取樣本的一種方式叫“不返回抽樣”。只有不返回抽樣的計算才能用到排列組合知識。如果不是不返回抽樣，就叫“返回抽樣”，例如給某個人算命抽簽，當抽取64卦中的一個簽之后得到卦辭，然后把簽放回去再抽取，它得到的概率永遠是1/64。返回抽樣的計算方式相對簡單，不需要排列組合公式。我們在玩三葉牌的游戲時是典型的“不返回抽樣”。
第三，玩撲克是典型的古典型概率問題。什么是古典型概率，古典概型具備兩個條件：1，樣本空間的元素只有有限個，在撲克牌中樣本數量為52；2，每個基本事件出現的可能性是相等的，在撲克牌中抽取到某個撲克的概率都是一樣的。所以古典概型又叫等可能概型。由於在現實中遇到的概率問題中，樣本的數量往往是不確定的，每個基本事件出現的可能性是不相等的，所以大多數概率問題不是古典概型。如果樣本的數量往往是無限多的，每個基本事件出現的可能性是相等的，那么可以用幾何的方法來計算其概率問題，可以稱為幾何分布。“自有限總體的不還原抽樣得到的一元離散型概率分布”叫超幾何分布，它們需要組合公式來計算。撲克牌基本符合超幾何分布，但是它是二元分布。
第四，撲克牌中的概率問題是離散型概率還是連續型概率。離散型概率問題是和連續型概率問題相對應的。常用的離散型概率概型（分布）有兩點分布、二項分布、超幾何分布、泊松分布、幾何分布。兩點分布又稱伯努利分布，在每次試驗中只有兩種可能的結果，而且是互相對立的，是獨立的，與其它各次試驗結果無關，結果事件發生的概率在整個系列試驗中保持不變，則這一系列試驗稱為伯努力試驗。二項分布即重復n次的伯努利試驗，它就是“自有限總體的還原抽樣得到的一元離散型概率分布。“自有限總體的不還原抽樣得到的一元離散型概率分布”叫超幾何分布。泊松分布其實是二項分布在樣本很大的情況下的一種理論近似，它的參數λ就是它的期望和方差，一般隨機質點流符合泊松分布。附和泊松分布的隨機質點流也叫泊松隨機質點流，也叫泊松流。例如把玩撲克的時候黑桃K到某個人的手里的次數隨着時間推移所形成的隨機質點流可以認為是泊松流。離散型概率的計算和連續性概率不同之處在於，離散型概率的計算可以用枚舉法來分析。在這里玩撲克的時候就是具體的枚舉分析。
現在我們應用組合公式對玩金花的概率問題重新分析。撲克牌有 黑桃、紅桃、方塊和梅花四種牌型，有從 A 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 、 10 、 J 、 Q 、 K 總共 13 種數字，我們稱為 13 種數型。
1 ，一副牌中摸到三張 K 的概率
其數型只有一種，牌型有 4 種，從四種牌型中抽取三種進行組合，所以是 C 4 3 ，而 52 張牌中抽取 3 張的組合是 C 52 3 ，所以發生的概率是 C 4 3 / C 52 3 ， 答案是 24/132600 。和分析法計算值一樣。
二，一副牌中摸到豹子的概率
其數型是 13 種數型中取一種，所以其數型為 C 13 1 ，其它計算和摸到三張 K 的概率計算一樣， 發生的概率是 C 13 1 × C 4 3 / C 52 3 ， 答案是 312/132600=1/425 。和分析法計算值一樣。
三，一副牌摸中全部是紅桃（金花）的概率
其數型有 3 種， 從 13 張牌中抽取 3 種數型進行組合 C 13 3 ，牌型有 1 種，而 52 張牌中抽取3 張的組合是 C 52 3 ，所以發生的概率是 C 13 3 / C 52 3 ，答案是 1716/132600 。和分析法計算值一樣。
四，一副牌摸中全部是金花的概率
其數型有 3 種，從 13 張牌中抽取 3 種數型進行組合 C 13 3 ，牌型有 4 種， 從 4 種牌型中選取 1 種牌型，所以是 C 4 1 ， 而 52 張牌中抽取 3 張的組合是 C 52 3 ，所以發生的概率是 C 4 1 × C 13 3 / C 52 3 ，答案是 6864/132600 。和分析法計算值一樣。
五，一副牌摸中順子 234 的概率
其數型 其實只有一種，但是三種數字的組合，每一種數字出現的牌型有 4 種， 組合是 C 4 1 ， 有 3 個數字，所以 234 的組合數量為 C 4 1 × C 4 1 × C 4 1 ，而 52 張牌中抽取 3 張的組合是 C 52 3 ，所以發生的概率是 C 4 1 × C 4 1 × C 4 1 / C 52 3 ，答案是 64/132600 。
七，一副牌摸中順子的概率
順子 其實是一種數字組合， 其數型其實有 （ 13 － 3 ＋ 1 ） =11 種， 從這 11 種數型中選取一種才成為順子，所以其組合為 C 11 1 ， 在這個順子組合中，每一個元素的牌型都是 4 種，從 4 種牌型中抽取一種， 組合是 C 4 1 ，有 3 個數字，所以 順子內部 的組合數量為 C 4 1 × C 4 1 × C 4 1 ， 而 52 張牌中抽取 3 張的組合是 C 52 3 ，所以發生的概率是 C 11 1 × C 4 1 × C 4 1 × C 4 1 / C 52 3 ，答案是 704/132600 。
八，一副牌摸中對子 K 的概率
在這種牌型中， 3 張牌實際上分為兩個類型，第一種是對子，牌型是 4 選 2 ，數型只有一種 K， 而 52 張牌中抽取 2 張的組合是 C 52 2 ，發生的概率是 C 4 2 / C 52 2 ， 第二種類型是一張任意牌，牌型是 4 選 1 ，組合是 C 4 1 ， 數型是12 選 1( 除過 K) ， 組合是 C 12 1 ， 是從余下的 50 張牌中選取， 所以組合 C 4 1 × C 12 1 / C 50 1 ，所以發生的概率是 兩種組合的乘積，是 ( C 4 2 / C 52 2 ) × ( C 4 1 × C 12 1 / C 50 1 ) ，答案是 576/132600 。和分析法計算值一樣。
九，一副牌摸中對子的概率
在這種牌型中， 3 張牌實際上分為兩個類型，第一種是對子，牌型是 4 選 2 ，數型 是 13 選 1，而 52 張牌中抽取 2 張的組合是 C 52 2 ，發生的概率是 C 4 2 × C 13 1 / C 52 2 ，第二種類型是一張任意牌，牌型是 4 選 1 ，組合是 C 4 1 ，數型是 12 選 1( 除過 K) ，組合是 C 12 1 ，是從余下的 50 張牌中選取，所以組合 C 4 1 × C 12 1 / C 50 1 ，所以發生的概率是兩種組合的乘積，是 ( C 4 2 × C 13 1 / C 52 2 ) × ( C 4 1 × C 12 1 / C 50 1 ) ，答案是 7488/132600=1/18。
十，出現金花順子紅桃 234 的概率是
在這里，牌型只有一種，數型只有一種數字組合，也只有一種（在數字組合內部每一種數字出現的牌型只有 1 種，數型只有一種），所以它的概率是 52 選 3 中的一種，為 1/ C 52 3 =1/132600 ，
十一，出現紅桃順子的概率：
順子其實是一種數字組合，其數型其實有（ 13 － 3 ＋ 1 ） =11 種，從這 11 種數型中選取一種才成為順子，所以其組合為 C 11 1 ，出現紅桃順子的概率 C 11 1 /C 52 3 =11/132600
十一，出現金花順子的概率：
這時候牌型是 4 選 1 ，數型是數字組合 11 選 1 ，從 52 張牌中抽取 3 張 ( 當然也可以分別抽取) ，所以 出現紅桃順子的概率 C 4 1 × C 11 1 /C 52 3 = 44 /132600
就是說每 3014 次才能摸到一次金花順子。
金花順子實際上是一個條件概率，是求在順子的條件下的金花的概率，或者是求在金花的條件下的順子的概率。我們用條件概率公式來求證一下。金花出現的概率是 6864/132600 ，金花中的牌型只有一種，這時候主要是數型發生了變化，而且順子的概率從組合問題轉化為排列問題，因為此時必須考慮 3 張牌的排列順序，所以要求從 P 13 3 個排列中取出（ 13 － 3 ＋ 1 ）種典型排列，所以它的概率是 P 11 1 / P 13 3 =1/156 ， 所以在金花條件下順子的概率是 6864/（ 132600 × 156 ） ==44/132600 。
順子出現的概率是 704/132600 ，順子中出現金花的要求是第二張和第三張牌的牌型和第一張牌的牌型保持一致，因此牌型從 C 4 1 × C 4 1 × C 4 1 改變為 C 4 1 × C 1 1 × C 1 1 ， 因此概率減小 16 倍， 704/ （ 132600 × 16 ） =44/132600 。