圖論淺析--基礎知識

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1、圖的定義

圖 是一個頂點集合V和一個頂點間關系的集合E組成，記G=(V,E)
V：頂點的有限非空集合。
E：頂點間關系的有限集合（邊集）。
存在一個結點v，可能含有多個前驅節點和后繼結點。
eg：

2、無向圖和有向圖

無向圖 在G=(V,E)中，如果對於任意的結點a,b ∈ V，當(a,b) ∈ E時，必有(b,a) ∈ E（即關系R對稱），此圖稱為無向圖。
無向圖中用不帶箭頭的邊表示頂點的關系。
eg：
V={1,2,3,4,5}
E={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,5),(3,5),(4,5)}

有向圖 在G=(V,E)中，如果對於任意的結點a,b ∈ V，當(a,b) ∈ E時，(b,a) ∈ E未必成立，稱此圖為有向圖。
有向圖中通常用帶箭頭的邊連接兩個有關聯的結點。
eg:
V={1,2,3,4,5}
E={<1,2>,<1,4>,<2,3>,<2,5>,<3,1>,<5,3>,<5,4>}

帶權圖
一般的圖邊上沒有數字，邊僅表示兩個頂點間相連接關系。
eg： 圖2
圖中的邊可以加上表示某種含義的數值，數值稱為邊的權。
eg：

3、頂點的度

在無向圖中，頂點v的度是指與頂點v相連的邊的數目D(v)。
eg: 圖2中，D(2)=3。

在有向圖中，
入度：以該頂點為終點的邊的數目。
出度：以該頂點為起點的邊的數目。
度：等於該頂點的入度與出度之和。
eg： 圖3中，ID(3)=2，OD(3)=1，D(5)=ID(5)+OD(5)=1+2=3。

度數為奇數的頂點叫奇點，度數為偶數的點叫偶點。
所有頂點的度等於邊數的兩倍。

4、路徑、回路

在圖G=(V,E)中，過對於結點a,b，存在滿足下述條件的結點序列 x1...xk(k>1) 有 x1=a,xk=b,(xi,xi+1)∈E,i=1...k−1 ，則稱結點序列 x1=a,x2,...,xk=b 為結點a到b的一條路徑，而路徑上邊的數目(k-1)則稱為該路徑的長度。
如果一條路徑上的結點除起點 x1 和終點 xk 可以相同外，其它結點均不相同，稱此路徑為一條簡單路徑。 x1=xk 的簡單路徑稱為回路（也稱為環）。
eg：

路徑(1,2,3,5)，長度=3；
路徑(1,2,3,5,2)，長度=4；
回路(1,2,5,4,1)，長度=4；

路徑(1,2,5,4)，長度=3.

5、連通性

連通：如果存在一條從頂點u到v的路徑，則稱u和v是連通的。
連通圖：圖中任意兩個頂點都是連通的，稱為連通圖；否則為非連通圖。
連通分量：無向圖中的極大連通子圖。
eg：
圖2，圖3，連通圖。

圖5，非連通圖。
有3個連通分量：{1,2,4,5},{3,6},{7,8}

6、小結

圖由頂點的集合和頂點間關系的集合組成。
圖有無向圖和有向圖之分。
圖的邊上加上權值后為帶權圖。
度是與頂點相連的邊的數目，有向圖分入度和出度。
連通圖指圖中任意兩個頂點都是連通的。

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