算法篇——Cantor的數表

 

　　來源：《算法競賽入門經典》例題5.4.1

　　題目：現代數學的著名證明之一是Georg Cantor證明了有理數是可枚舉的。他是用下面這一張表來證明這一命題的： 第一項是1/1，第二項是是1/2，第三項是2/1，第四項是3/1，第五項是2/2，……。輸入n，輸出第n項。

　　　　

　　樣例輸入：
　　3
　　14
　　7
　　12345
　　樣例輸出：
　　2/1
　　2/4
　　1/4
　　59/99

　　分析：

　　數表提示我們按照斜線分類。第1條斜線有1個數，第2條有2個數，第3條有3個數……第k條有k個數。這樣，前k條斜線一共有S=1+2+3+……+k個數。

　　第n項在哪條斜線上呢？只要找到一個最小的k，使得S≥n，那么第n項就是第k條斜線上倒數第S-n+1個數（最后一個元素是倒數第1個元素，而不是倒數第0個元素）。

　　而k的奇偶決定着第k條斜線上數的順序：若k是奇數，第k條斜線上倒數第i個元素是i/(k+1-i)；若k是偶數，第k條斜線上倒數第i個元素是(k+1-i)/i。

　　源碼：

#include<stdio.h>

int main()
{
    int n,k,s;            //前k挑斜線一共s個數
    while(scanf("%d",&n) == 1)
    {    
        k=0;
        s=0;
        while(s<n)        //找到最小的k使得s>=n
        {
            k++;
            s+=k;
        }
        if(k%2==1)        //k的奇偶決定着斜線上數的順序,n是第k條斜線上倒數第s-n+1個數
            printf("%d/%d\n",s-n+1,k+n-s);    //若k是奇數，第k條斜線上倒數第i個元素是i/(k+1-i)
        else
            printf("%d/%d\n",k+n-s,s-n+1);    //若k是偶數，第k條斜線上倒數第i個元素是(k+1-i)/i
    }
    
    return 0;
}