淺析數據結構-圖的基本概念

線性表和樹兩類數據結構，線性表中的元素是“一對一”的關系，樹中的元素是“一對多”的關系，本章所述的圖結構中的元素則是“多對多”的關系。圖（Graph）是一種復雜的非線性結構，在圖結構中，每個元素都可以有零個或多個前驅，也可以有零個或多個后繼，也就是說，元素之間的關系是任意的。

一、圖的定義與術語

定義：圖（Graph）是由頂點的有窮非空集合和頂點之間邊的集合組成，通常表示為：G(V,E)，其中，G表示一個圖，V是圖G中頂點的集合，E是圖G中邊的集合。

1、圖的分類

圖是按照無方向和有方向分為無向圖和有向圖。

左圖為無向圖是由頂點和邊構成，右圖為有向圖是由頂點和弧（有向邊構成）。弧有弧頭和弧尾區別。

按照邊分為稀疏圖和稠密圖，這是個模糊的概念，同樣是相對的概念。

如果任意兩個頂點之間都存在邊叫完全圖，有向的邊叫有向完全圖。如果無重復的邊或者頂點到自身的邊叫簡單圖。在用數學方式表示時，無向邊用()表示，有向邊用<>表示。現在我們講解的圖全是簡單圖。

左圖沒有重復的邊或者到自身的邊（簡單圖），右圖則有。

這種邊帶權值的圖叫網

2.圖的頂點和邊間關系

頂點的度：頂點關聯邊的數目。有向圖圖中有，入度：方向指向頂點的邊；出度：方向背向頂點的邊。在有向圖中頂點的度就是兩者之和。

路徑長度：路徑上邊或者弧的數目。

左圖中，從B到D的路徑度為2，在右圖中就是3了（粗線的邊）。

右圖中A的入度是2，出度是1；B的入度為0，出度是2.

連通

在無向圖G中，任意兩個頂點是相通的就是連通圖。

左圖不是連通圖，AE之間沒有連通。

二、圖的存儲結構

圖的結構比價復雜，任意兩個頂點之間都可能存在關系，不能用簡單的順序存儲結構來表示。如果運用多重鏈表，即一個數據域多個指針域組成的結點表示圖中一個結點，則造成大量存儲單元浪費。

1、鄰接矩陣

鄰接矩陣用兩個數組保存數據。一個一維數組存儲圖中頂點信息，一個二維數組存儲圖中邊或弧的信息。

無向圖中二維數組是個對稱矩陣。

特點：

• 1、0表示無邊，1表示有邊

      2、頂點的度是行內數組之和。

      3、求取頂點鄰接點，將行內元素遍歷下。

  

  有向圖的鄰接矩陣：有向圖中講究入度和出度，各行之和是出度，各列之和是入度。

  帶權的圖叫網，用鄰接矩陣表示為：

  

  鄰接矩陣對於邊數相對頂點較少的圖，就是對存儲空間極大的浪費。

  2、鄰接表

  鄰接表：數組和鏈表相結合的存儲方法為鄰接表。

• 圖中頂點用一個一維數組存儲。
• 圖中每個頂點Vi的所有鄰接點構成一個線性表。

  

  從圖中得知，頂點表的各個結點由data和Firstedge兩個域表示，data是數據域，存儲頂點信息，firstedge是指針域，指向邊表的第一個結點，即頂點的第一個鄰接點。邊表結點由adjvex和next兩個域組成。adjvex是鄰接點域，存儲某頂點的鄰接點在頂點表中坐標，next存儲邊表中下一個結點指針。比如v1頂點與v2、v0互為鄰接點，則在v1邊表中，adjvex分別為0和2。

  有向圖也可以用鄰接表，出度表叫鄰接表，入度表尾逆鄰接表。

  

  3、十字鏈表

  在鄰接表中針對有向圖，分為鄰接表和逆鄰接表，導致無法從一個表中獲取圖的入讀和出度的情況，有人提出了十字鏈表。

  定點表：

  

  其中firstin：入邊表頭指針，指向頂點入邊表的第一個結點。

  firstout：出邊表頭指針，指向頂點出邊表第一個結點。

  邊表：

  

  其中tailvex是指弧起點在頂點表的下標，headvex弧終點在頂點表的下標，headlink入邊表指針域，指向終點相同的下一條邊，taillink是指邊表指針域，指向起點相同的下一條邊。

  

  4、鄰接多重表

  鄰接多重表結構如圖：

  

  ivex和jvex是與某條邊依附的兩個頂點在頂點表中的下標。ilink指向依附項點ivex的下一條邊，jlink指向依附頂點jvex的下一條邊。

   

  三 、代碼實現

   

  #include <iostream>
  
  #define  MAXVEX 100      //最大頂點數
  #define INFINITY 65535   //最大權值
  
  typedef int EdgeType;    //權值類型自己定義
  typedef char VertexType;  //頂點類型自己定義
  #pragma once
  
  #pragma region 鄰接矩陣結構體
  typedef struct 
  {
      VertexType vex[MAXVEX];   //頂點表
      EdgeType arg[MAXVEX][MAXVEX];  ///權值表-鄰接矩陣
      int numVertexes,numEdges;  //圖中的邊數和頂點數
  }GraphArray;
  
  #pragma endregion
  
  #pragma region 鄰接表結構體
  //邊表結點
  typedef struct EdgeNode
  {
      int nNodevex;     //鄰接點的點表中結點的坐標
      EdgeType nNodeWeight;   //用於網圖中邊的權值
      EdgeNode* next;       //鏈域，指向下一個鄰接點
  }EdgeNode,*pEdgeNode;
  //頂點表結點
  typedef struct VertexNode
  {
      VertexType nNodeData;   //頂點表中存儲的數據
      pEdgeNode pFirstNode;   //頂點表和邊表中關聯指針，指向邊表頭指針
  
  }VertexNode,pVertexNode,VertexList[MAXVEX];
  //圖結構
  typedef struct
  {
      VertexList vertexList;
      int numVertess,numEdges;
  }GraphList;
  
  #pragma endregion
  
  class GraphData
  {
  public:
      GraphData(void);
      ~GraphData(void);
      #pragma region 創建鄰接矩陣
      void CreateGraphArray(GraphArray* pGraphArray,int numVer,int numEdegs);
      int GetGraphLocation(GraphArray* pGraphArrray,char chpoint);
      #pragma endregion
  
      #pragma region 創建鄰接表
      void CreateGraphList(GraphList* pList,int numVer,int numEdegs);
      int GetGraphListLocation(GraphList* pList,char chpoint);
      #pragma endregion
  
  };

   

• #include "GraphData.h"
  
  
  GraphData::GraphData(void)
  {
  }
  
  
  GraphData::~GraphData(void)
  {
  }
  
  int GraphData::GetGraphLocation(GraphArray* pGraphArrray,char chpoint)
  {
      int i = 0;
      for (i = 0;i< pGraphArrray->numVertexes;i++)
      {
          if (pGraphArrray->vex[i] == chpoint)
          {
              break;;
          }
      }
      if (i >= pGraphArrray->numVertexes)
      {
          return -1;
      }
      return i;
  }
  /// <summary>
  /// 創建鄰接矩陣
  /// </summary>        
  void GraphData::CreateGraphArray(GraphArray* pGraphArray,int numVer,int numEdegs)
  {
      int weight = 0;
      pGraphArray->numVertexes = numVer;
      pGraphArray->numEdges = numEdegs;
      
      //創建頂點表
      for (int i= 0; i < numVer;i++)
      {
          pGraphArray->vex[i] = getchar();
          while(pGraphArray->vex[i] == '\n')
          {
              pGraphArray->vex[i] = getchar();
          }
      }
  
      //創建鄰接表的邊矩陣
      for (int i = 0; i < numEdegs; i++)
      {
          for (int j = 0;j < numEdegs ; j++)
          {
              pGraphArray->arg[i][j] = INFINITY;
          }        
      }
      for(int k = 0; k < pGraphArray->numEdges; k++)
      {
          char p, q;
          printf("輸入邊(vi,vj)上的下標i，下標j和權值:\n");
  
          p = getchar();
          while(p == '\n')
          {
              p = getchar();
          }
          q = getchar();
          while(q == '\n')
          {
              q = getchar();
          }
          scanf("%d", &weight);    
  
          int m = -1;
          int n = -1;
          m = GetGraphLocation(pGraphArray, p);
          n = GetGraphLocation(pGraphArray, q);
          if(n == -1 || m == -1)
          {
              fprintf(stderr, "there is no this vertex.\n");
              return;
          }
          //getchar();
          pGraphArray->arg[m][n] = weight;
          pGraphArray->arg[n][m] = weight;  //因為是無向圖，矩陣對稱
      }
      
  }
  
  #pragma region
  void GraphData::CreateGraphList(GraphList* pList,int numVer,int numEdegs)
  {
      int weight = 0;
      GraphList *pGraphList = pList;
      pGraphList->numVertess = numVer;
      pGraphList->numEdges = numEdegs;
      EdgeNode* firstNode,*secondNode;
      //創建頂點表
      for (int i= 0; i < numVer;i++)
      {
          pGraphList->vertexList[i].nNodeData = getchar();
          pGraphList->vertexList[i].pFirstNode = NULL;
          while(pGraphList->vertexList[i].nNodeData == '\n')
          {
              pGraphList->vertexList[i].nNodeData = getchar();
          }
      }
  
      //創建邊表    
      for(int k = 0; k < pGraphList->numEdges; k++)
      {
          char p, q;
          printf("輸入邊(vi,vj)上的下標i，下標j和權值:\n");
  
          p = getchar();
          while(p == '\n')
          {
              p = getchar();
          }
          q = getchar();
          while(q == '\n')
          {
              q = getchar();
          }
          scanf("%d", &weight);    
  
          int m = -1;
          int n = -1;
          m = GetGraphListLocation(pGraphList, p);
          n = GetGraphListLocation(pGraphList, q);
          if(n == -1 || m == -1)
          {
              fprintf(stderr, "there is no this vertex.\n");
              return;
          }
          //getchar();
          //字符p在頂點表的坐標為m，與坐標n的結點建立聯系權重為weight
          firstNode = new EdgeNode();
          firstNode->nNodevex = n;
          firstNode->next = pGraphList->vertexList[m].pFirstNode;
          firstNode->nNodeWeight = weight;
          pGraphList->vertexList[m].pFirstNode = firstNode;
  
          //第二個字符second
          secondNode = new EdgeNode();
          secondNode->nNodevex = m;
          secondNode->next = pGraphList->vertexList[n].pFirstNode;
          secondNode->nNodeWeight = weight;
          pGraphList->vertexList[n].pFirstNode = secondNode;
  
      }
  }
  
  int GraphData::GetGraphListLocation(GraphList* pList,char chpoint)
  {
      GraphList *pGraphList = pList;
      int i = 0;
      for (i = 0;i< pGraphList->numVertess;i++)
      {
          if (pGraphList->vertexList[i].nNodeData == chpoint)
          {
              break;;
          }
      }
      if (i >= pGraphList->numVertess)
      {
          return -1;
      }
      return i;
  }
  
  #pragma endregion

  #include <iostream>
  #include "GraphData.h"
  using namespace std;
  //
  
  void PrintGrgph(GraphList *pGraphList)
  {
      int i =0;
      while(pGraphList->vertexList[i].pFirstNode != NULL && i<MAXVEX)
      {
          printf("頂點:%c  ",pGraphList->vertexList[i].nNodeData);
          EdgeNode *e = NULL;
          e = pGraphList->vertexList[i].pFirstNode;
          while(e != NULL)
          {
              printf("%d  ", e->nNodevex);
              e = e->next;
          }
          i++;
          printf("\n");
      }
      
  }
  int main()
  {
      int numVexs,numEdges;
      GraphData* pTestGraph = new GraphData();
      GraphArray graphArray;
      GraphArray* pGraphArray = &graphArray;
      GraphList* pGgraphList = new GraphList();
      
      cout<<"輸入頂點數和邊數"<<endl;
      cin>>numVexs>>numEdges;
      cout<<"頂點數和邊數為："<<numVexs<<numEdges<<endl;
  
      /*pTestGraph->CreateGraphArray(pGraphArray,numVexs,numEdges);
      for(int i = 0; i< numEdges;i++)
      {
          for (int j = 0;j< numEdges;j++)
          {
              cout<<pGraphArray->arg[i][j];
          }
          cout<<endl;
      }*/
      pTestGraph->CreateGraphList(pGgraphList,numVexs,numEdges);
      PrintGrgph(pGgraphList);
      system("pause");
  }