// 此博文為遷移而來，寫於2015年5月16日，不代表本人現在的觀點與看法。原始地址：http://blog.sina.com.cn/s/blog_6022c4720102w0d8.html
UPDATE（20180818）：移步新的網絡流系列╮(╯▽╰)╭。
I、網絡流基礎
II、網絡流進階之轉換對偶圖
III、網絡流進階之費用流
1、前言
先來說一個概念——最小割。最小割是什么呢？在網絡流上，截去最小的流，使源點到匯點沒有流量可以流通。仔細想想，其實就是最大能通過的流量。於是就能得到一個定理——最小割=最大流。
今天所講的一種模型，是將平面圖轉換為對偶圖，用最短路來求最小割。它的速度比起裸最小割（Dinic）更快（但是僅適用於網格圖）。先來看一道例題：
狼抓兔子 [ BZOJ 1001 / Beijing 2006 ]
現在小朋友們最喜歡的"喜羊羊與灰太狼",話說灰太狼抓羊不到，但抓兔子還是比較在行的，而且現在的兔子還比較笨，它們只有兩個窩，現在你做為狼王，面對下面這樣一個網格的地形：
左上角點為(1,1),右下角點為(N,M)(上圖中N=3,M=4)。有以下三種類型的道路 1:(x,y)<==>(x+1,y) 2:(x,y)<==>(x,y+1) 3:(x,y)<==>(x+1,y+1) 道路上的權值表示這條路上最多能夠通過的兔子數，道路是無向的. 左上角和右下角為兔子的兩個窩，開始時所有的兔子都聚集在左上角(1,1)的窩里，現在它們要跑到右下解(N,M)的窩中去，狼王開始伏擊這些兔子.當然為了保險起見，如果一條道路上最多通過的兔子數為K，狼王需要安排同樣數量的K只狼，才能完全封鎖這條道路，你需要幫助狼王安排一個伏擊方案，使得在將兔子一網打盡的前提下，參與的狼的數量要最小。因為狼還要去找喜羊羊麻煩.
輸入格式
第一行為N,M.表示網格的大小，N,M均小於等於1000.接下來分三部分第一部分共N行，每行M-1個數，表示橫向道路的權值. 第二部分共N-1行，每行M個數，表示縱向道路的權值. 第三部分共N-1行，每行M-1個數，表示斜向道路的權值. 輸入文件保證不超過10M
輸出格式
輸出一個整數，表示參與伏擊的狼的最小數量.
輸入樣例
3 4
5 6 4
4 3 1
7 5 3
5 6 7 8
8 7 6 5
5 5 5
6 6 6
輸出樣例
14
2、轉換
其實這道題，直接用Dinic跑最大流，是不會WA的，但是數據之大讓Dinic無能為力。我們注意到，我們在割掉一條邊的時候（即派遣狼）在邊上畫一條杠，而最小割就是用最小的代價畫一坨杠讓圖不連通。我們可以把我們畫的杠看作一條聯通這條邊兩側方塊（如果在網格圖中）的邊，而且你會發現，要使起點和終點不連通，我們就會畫出一串可以相連的杠（可以試一試），所以這種在平面圖上求最小割的方法就應運而生了。
所以，這種方法的本質就是在這一串的割線上跑最短路。
那么，我們這個時候構建一個對偶圖：對於每一條邊，必定會有兩個面在其左右側。則我們將左右側兩個面連一條邊，且其權值為原來那條邊的權值。即對於下圖中的一條權值為5的邊，在對偶圖中對應的就是一條由1連向2的權值為5的邊。
Code：（P.S. 我的代碼構建對偶圖的方式比較鬼，盡管是對的。。大家可以自行腦補更好的方法 = =）
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#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cstdlib>
#define MAXN 1000005
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
struct Edge
{
int v,next,val;
};
Edge edge[6*MAXN];
int ggd=INF;
int cycle,n,m,x,now,h[MAXN*6],s,t,dist[MAXN*6],vis[MAXN*6];
void addEdge(int u,int v,int val)
{
now++;
edge[now].v=v;
edge[now].next=h[u];
edge[now].val=val;
h[u]=now;
}
void init1()
{
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=m-1;j++)
{
scanf("%d",&x),ggd=min(ggd,x);
if (i==1) { addEdge(t,(i-1)*cycle+j*2,x); addEdge((i-1)*cycle+j*2,t,x); }
else if (i==n) { addEdge((i-2)*cycle+j*2-1,s,x); addEdge(s,(i-2)*cycle+j*2-1,x); }
else { addEdge((i-2)*cycle+j*2-1,(i-1)*cycle+j*2,x); addEdge((i-1)*cycle+j*2,(i-2)*cycle+j*2-1,x); }
}
}
void init2()
{
for (int i=1;i<=n-1;i++)
for (int j=1;j<=m;j++)
{
scanf("%d",&x),ggd=min(ggd,x);
if (j==1) { addEdge(s,(i-1)*cycle+1,x); addEdge((i-1)*cycle+1,s,x); }
else if (j==m) { addEdge(i*cycle,t,x); addEdge(t,i*cycle,x); }
else { addEdge((i-1)*cycle+j*2-2,(i-1)*cycle+j*2-1,x); addEdge((i-1)*cycle+j*2-1,(i-1)*cycle+j*2-2,x); }
}
}
void init3()
{
int tot=-1;
for (int i=1;i<=n-1;i++)
for (int j=1;j<=m-1;j++)
{
scanf("%d",&x); tot+=2,ggd=min(ggd,x);
addEdge(tot,tot+1,x); addEdge(tot+1,tot,x);
}
}
void init()
{
scanf("%d %d",&n,&m);
cycle=(m-1)*2;
s=(n-1)*(m-1)*2+1,t=s+1;
init1();
init2();
init3();
if(n==1||m==1){ printf("%d",ggd); exit(0); }
}
struct state
{
int num,nowVal;
state() {}
state(int _num,int _nowVal):num(_num),nowVal(_nowVal) {}
friend bool operator < (state a,state b) { return a.nowVal>b.nowVal; }
};
priority_queue q;
int Dijkstra()
{
memset(dist,INF,sizeof(dist));
q.push(state(s,0));
dist[s]=0,vis[s]=0;
while (q.size())
{
state temp=q.top(); q.pop();
if (temp.nowVal>dist[temp.num]) continue;
if (temp.num==t) return dist[t];
for (int x=h[temp.num];x!=0;x=edge[x].next)
{
if (dist[temp.num]+edge[x].val
{
dist[edge[x].v]=dist[temp.num]+edge[x].val;
q.push(state(edge[x].v,dist[edge[x].v]));
}
}
}
return -1;
}
int main()
{
init();
printf("%d",Dijkstra());
return 0;
}
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UPDATE：感謝王隊（@wyh2000）傾情付出調試1個多小時找到了錯誤。。。
[所以那個ggd的變量就是他亂搞的大家請無視]