數據結構基礎溫故-4.樹與二叉樹（下）

本文轉載自查看原文 2015-07-17 00:38 2707 【012】計算機專業基礎

上面兩篇我們了解了樹的基本概念以及二叉樹的遍歷算法，還對二叉查找樹進行了模擬實現。數學表達式求值是程序設計語言編譯中的一個基本問題，表達式求值是棧應用的一個典型案例，表達式分為前綴、中綴和后綴三種形式。這里，我們通過一個四則運算的應用場景，借助二叉樹來幫助求解表達式的值。首先，將表達式轉換為二叉樹，然后通過先序遍歷二叉樹的方式求出表達式的值。

一、二叉樹如何表示四則運算

1.1 表達式轉換為二叉樹

　　上圖是表達式“3+2*9-16/4”轉換成的二叉樹，觀察表達式，可以看出：

　　（1）操作數都是葉子節點；

　　（2）運算符都是內部節點；

　　（3）優先運算的操作符都在樹下方，而相對優先級較低的減法（根節點）運算則最后運算。

　　從上往下看，這棵二叉樹可以理解如下：

　　（1）要理解根節點"-"號的結果必須先計算出左子樹"+"和右子樹"/"號的結果。可以看，要想得到"+"號的結果，又必須先計算其右子樹"*"號的結果；

　　（2）"*"號左右孩子是數字，可以直接計算，2*9=18。接下來計算"+"號，3+18=21，即根節點的左子樹結果為21；

　　（3）"/"號左右孩子是數字，可以直接計算，16/4=4。於是，根節點的右子樹結果為4。

　　（4）最后計算根節點的"-"號，21-4=17，於是得出了該表達式的值為17。

1.2 二叉表達式樹的構造過程解析

　　從上面的解析過程可以看出，這是一個遞歸的過程，正好可以用二叉樹先序遍歷的方法進行計算。下面我們來一步一步地通過圖示來演示一下表達式"3+2*9-16/4"解析生成二叉樹的過程。

　　（1）首先獲取表達式的第一個字符“3”，由於表達式樹目前還是一棵空樹，所以3成為根節點；

　　（2）獲取第二個字符“+”，此時表達式樹根節點為數字，需要將新節點作為根節點，原根節點作為新根節點的左孩子。這里需要注意的是：只有第二個節點會出現這樣的可能，因為之后的根節點必定為操作符；

　　（3）獲取第三個字符“2”，數字將沿着根節點右鏈插入到最右端；

　　（4）獲取第四個字符“*”，如果判斷到是操作符，則將與根節點比較優先級，如果新節點的優先級高則插入成為根節點的右孩子，而原根節點的右孩子則成為新節點的左子樹；

　　（5）獲取第五個字符“9”，數字將沿着根節點右鏈插入到最右端；

　　（6）獲取第六個字符“-”，“-”與根節點“+”比較運算符的優先級，優先級相等則新節點成為根節點，原表達式樹則成為新節點的左子樹；

　　（7）獲取第7與第8個字符組合為數字16，沿着根節點右鏈插入到最右端；

　　（8）獲取第九個字符“/”，與根節點比較運算符的優先級，優先級高則成為根節點的右孩子，原根節點右子樹則成為新節點的左子樹；

　　（9）獲取第十個字符“4”，還是沿着根節點右鏈查到最右端。至此，運算表達式已全部遍歷，一棵表達式樹就已經建立完成。

SUMMARY：從以上過程中我們可以將表達式樹的建立算法歸結如下

①第一個節點先成為表達式樹的根；

②第二個節點插入時變為根節點，原根節點變為新節點的左孩子；

③插入節點為數字時，沿着根節點右鏈插入到最右端；

④插入節點為操作符時，先跟根節點操作符進行對比，分兩種情況進行處理：

　　一是當優先級不高時，新節點成為根節點，原表達式樹成為新節點的左子樹；【如上面的步驟（6）】

　　二是當優先級較高時，新節點成為根節點右孩子，原根節點右子樹成為新節點的左子樹。【如上面的步驟（8）】

二、二叉表達式樹的模擬實現

2.1 二叉表達式樹節點的定義

        private class Node
        {
            private bool _isOptr;

            public bool IsOptr
            {
                get { return _isOptr; }
                set { _isOptr = value; }
            }
            private int _data;

            public int Data
            {
                get { return _data; }
                set { _data = value; }
            }
            private Node _left;

            public Node Left
            {
                get { return _left; }
                set { _left = value; }
            }
            private Node _right;

            public Node Right
            {
                get { return _right; }
                set { _right = value; }
            }

            public Node(int data)
            {
                this._data = data;
                this._isOptr = false;
            }

            public Node(char optr)
            {
                this._isOptr = true;
                this._data = optr;
            }

            public override string ToString()
            {
                if (this._isOptr)
                {
                    return Convert.ToString((char)this._data);
                }
                else
                {
                    return this._data.ToString();
                }
            }
        }

View Code

　　與普通二叉樹節點定義不同，這里新增了一個isOptr標志，來判斷該節點是數字節點還是運算符節點；

2.2 二叉表達式樹的創建實現

        private Node CreateTree()
        {
            Node head = null;
            
            while(_pos < _expression.Length)
            {
                Node node = GetNode(); // 將當前解析字符轉換為節點
                if(head == null)
                {
                    head = node;
                }
                else if (head.IsOptr == false) // 根節點為數字，當前節點為根，原根節點變為左孩子
                {
                    node.Left = head;
                    head = node;
                }
                else if (node.IsOptr == false) // 如果當前節點是數字
                {
                    // 當前節點沿右路插入最右邊成為右孩子
                    Node tempNode = head;
                    while(tempNode.Right != null)
                    {
                        tempNode = tempNode.Right;
                    }
                    tempNode.Right = node;
                }
                else // 如果當前節點是運算符
                {
                    if (GetPriority((char)node.Data) <= GetPriority((char)head.Data)) // 優先級低則成為根，原二叉樹成為插入節點的左子樹
                    {
                        node.Left = head;
                        head = node;
                    }
                    else // 優先級高則成為根節點的右子樹，原右子樹成為插入節點的左子樹
                    {
                        node.Left = head.Right;
                        head.Right = node;
                    }
                }
            }

            return head;
        }

　　這里按照我們在上面所歸納的創建過程算法進行了實現，代碼中的注釋已經比較完善，這里就不再贅述。

2.3 二叉表達式的先序遍歷計算運算結果實現

        // 先序遍歷進行表達式求值
        private int PreOrderCalc(Node node)
        {
            int num1, num2;
            if (node.IsOptr)
            {
                // 遞歸先序遍歷計算num1
                num1 = PreOrderCalc(node.Left);
                // 遞歸先序遍歷計算num2
                num2 = PreOrderCalc(node.Right);
                char optr = (char)node.Data;

                switch (optr)
                {
                    case '+':
                        node.Data = num1 + num2;
                        break;
                    case '-':
                        node.Data = num1 - num2;
                        break;
                    case '*':
                        node.Data = num1 * num2;
                        break;
                    case '/':
                        if (num2 == 0)
                        {
                            throw new DivideByZeroException("除數不能為0！");
                        }
                        node.Data = num1 / num2;
                        break;
                }
            }

            return node.Data;
        }