編程之美——數組分割

一、題目概述：有一個沒有排序，元素個數為2N的正整數數組。要求把它分割為元素個數為N的兩個數組，並使兩個子數組的和最接近。
假設數組A[1..2N]所有元素的和是SUM。模仿動態規划解0-1背包問題的策略，令S(k, i)表示前k個元素中任意i個元素的和的集合。顯然：
S(k, 1) = {A[i] | 1<= i <= k}
S(k, k) = {A[1]+A[2]+…+A[k]}
S(k, i) = S(k-1, i) U {A[k] + x | x屬於S(k-1, i-1) }
按照這個遞推公式來計算，最后找出集合S(2N, N)中與SUM/2最接近的那個和，這便是答案。這個算法的時間復雜度是O(2^N).
因為這個過程中只關注和不大於SUM/2的那個子數組的和。所以集合中重復的和以及大於SUM/2的和都是沒有意義的。把這些沒有意義的和剔除掉，剩下的有意義的和的個數最多就是SUM/2個。所以，我們不需要記錄S(2N,N)中都有哪些和，只需要從SUM/2到1遍歷一次，逐個詢問這個值是不是在S(2N,N)中出現，第一個出現的值就是答案。我們的程序不需要按照上述遞推公式計算每個集合，只需要為每個集合設一個標志數組，標記SUM/2到1這個區間中的哪些值可以被計算出來。關鍵代碼如下：

#include<iostream>
using namespace std;

//有一個沒有排序，元素個數為2N的正整數數組。要求把它分割為元素個數為N的兩個數組，並使兩個子數組的和最接近。
int arr[] = {0,1,5,7,8,9,6,3,11,20,17};
const int N=5;
const int SUM = 87;

// 模仿動態規划解0-1背包問題的策略
int solve1()
{
    int i , j , s;
    int dp[2*N+1][N+1][SUM/2+2];

    /*
    用dp(i,j,c)來表示從前i個元素中取j個、且這j個元素之和不超過c的最佳(大)方案，在這里i>=j,c<=S
    狀態轉移方程：   
    限第i個物品　　　　　　　不取　　
    dp(i,j,c)=max{dp(i-1,j-1,c-a[i])+a[i]，dp(i-1,j,c)}
    dp(2N,N,SUM/2+1)就是題目的解。
    */
    //初始化
    memset(dp,0,sizeof(dp));

    for(i = 1 ; i <= 2*N ; ++i)
    {
        for(j = 1 ; j <= min(i,N) ; ++j)
        {
            for(s = SUM/2+1 ; s >= arr[i] ; --s)
            {
                dp[i][j][s] = max(dp[i-1][j-1][s-arr[i]]+arr[i] , dp[i-1][j][s]);
            }
        }
    }

    //因為這為最終答案　dp[2*N][N][SUM/2+1];
    i=2*N , j=N , s=SUM/2+1;
    while(i > 0)
    {
        if(dp[i][j][s] == dp[i-1][j-1][s-arr[i]]+arr[i])   //判定這個狀態是由哪個狀態推導出來的
        {
            cout<<arr[i]<<" ";    //取中arr[i]
            j--;
            s -= arr[i];
        }    
        i--;
    }
    cout<<endl;
    return dp[2*N][N][SUM/2+1];
}

int solve2()
{
    int i , j , s;
    int dp[N+1][SUM/2+2];     //取Ｎ+１件物品，總合不超過SUM/2+2，的最大值是多少 
    memset(dp,0,sizeof(dp));    //初始狀態都為0

    for(i = 1 ; i <= 2*N ; ++i)
    {
        for(j = 1 ; j <= min(i,N) ; ++j)
        {
            for(s = SUM/2+1 ; s >= arr[i] ; --s)    //01背包從大到小，可以省空間，即最外層的空間
            {
                dp[j][s] = max(dp[j-1][s-arr[i]]+arr[i] , dp[j][s]); 
            }
        }
    }
    //要求最優解則　空間不能優化，
    return dp[N][SUM/2+1];
}

int solve3()
{
    int i , j , s;
    int isOK[N+1][SUM/2+2]; //isOK[i][v]表示是否可以找到i個數，使得它們之和等於v
    memset(isOK,0,sizeof(isOK));    //都不合法
    //注意初始化
    isOK[0][0] = 1; //可以,取0件物品，總合為0，是合法的

    for(i = 1 ; i <= 2*N ; ++i)
    {
        for( j = 1 ; j <= min(i,N) ; ++j)
        {
            for(s = SUM/2+1 ; s >= arr[i] ; --s) //從大到小，數組少了一維
            {
                if( isOK[j-1][s-arr[i]] )
                    isOK[j][s] = 1;
            }
        }
    }
    for(s = SUM/2+1 ; s >= 0 ; --s)
    {
        if(isOK[N][s])
            return s;
    }

    //要求最優解則空間不能優化
    return 0;
}

int main(void)
{
    int s1 = solve1();
    int s2 = solve2();
    int s3 = solve3();
    cout<<"s1="<<s1<<endl;
    cout<<"s2="<<s2<<endl;
    cout<<"s3="<<s3<<endl;
    system("pause");
    return 0;
}