編程之美：求數組的子數組之和的最大值

1.問題描述

一個有N個整數元素的一維數組( A[0], A[1], ... , A[n-2], A[n-1])，子數組之和的最大值是什么?(要求子數組的元素是連續的)

例子：有數組( -2, 5, 3, -6, 4, -8, 6)，則其子數組之和的最大值為8，其對應的數組為(5,3)

 

2.分析與解法

解法一：采用直接法，記Sum[i...j]，為數組A中從第i到第j之間所有數之和，算出所有Sum，取其最大，代碼如下，時間復雜度O(N²)：

int maxSum1(int *A, int n)
{
    int max = -1;
    int i, j, sum;
    
    for(i = 0; i < n; i++)
    {
          sum = 0;
          for(j = i; j < n; j++)
          {
                sum += A[j];
                if(sum > max )
                       max = sum;
          }
    }
    
    return max;
}

 

解法二：使用分治法，數組(A[0],A[1],...A(n-1)分為長度相等的兩段數組(A[0],...,A[n/2-1])以及(A[n/2],...,A[n-1])，分別求出這兩段數組各自的最大子段和，則原數組(A[0],A[1],...A(n-1)的最大子段和分為3種情況

1).(A[0],A[1],...A(n-1)的最大子段和與(A[0],...,A[n/2-1])的相同

2).(A[0],A[1],...A(n-1)的最大子段和與(A[n/2],...,A[n-1])的相同

3).(A[0],A[1],...A(n-1)的最大子段和跨過(A[0],...,A[n/2-1])與(A[n/2],...,A[n-1])-

1)和2)可以根據遞歸可得，3)只要計算出以A[n/2-1]為結尾的一段數組最大和s1=Sum1[i...n/2-1]和A[n/2]為開頭一段數組最大和s2=Sum2[n/2...j]，最后s=s1+s2.

這個算法滿足分值算法遞歸，總的時間復雜度O(N*log₂N)

 

 

解法三：假設我們已經知道(A[k].....A[n-1])最大的一段數組和為All[k]，並且已經計算出在(A[k].....A[n-1])中包含A[k]的最大的一段數組和為Start[k]，那么可以推斷出All[k-1]=max{A[k-1]，A[k-1]+Start[k]，All[k]}，利用動態規划思想以及這樣的遞推公式，從后往前計算，代碼如下,時間復雜度O(N)：

int max(int x, int y)
{
    return (x > y) ? x : y;
}

int maxSum2(int *A, int n)
{
    int i;
    int All[n], Start[n];
    
    All[n-1] = A[n-1];
    Start[n-1] = A[n-1];
    
    for(i = n-2; i >= 0; i--)
    {
          Start[i] = max(A[i], A[i]+Start[i+1]);
          All[i] = max(All[i+1], Start[i]);
    }
    
    return All[0];    
}

 
對以上代碼進行簡化，因為最后所求到的變量只有Start[0]和All[0]，這樣可以反復用nStart和nAll，省略掉其他的變量，代碼如下：

int max(int x, int y)
{
    return (x > y) ? x : y;
}

int maxSum2_v(int *A, int n)
{
    int i;
    int nAll, nStart;
    
    nAll = A[n-1];
    nStart = A[n-1];
    
    for(i = n-2; i >= 0; i--)
    {
          nStart = max(A[i], A[i]+nStart);
          nAll = max(nAll, nStart);
    }
    
    return nAll;    
}

 

注：以上的計算順序也可以從前往后，即：All[k+1]=max{A[k+1]，A[k+1]+Start[k]，All[k]}.