2014.04.17,轉帖,關於FFT的結果為什么要除以N

http://www.chinavib.com/forum/viewthread.php?tid=23665&highlight= 

關於這個問題，我看到的書好像都沒有進行解釋，這里我試着解釋下： 
首先，離散付立葉變換的定義本身比連續付立葉變換少了一個dt(采樣時間間隔）； 
然后，對於單頻率成分的信號來說，經過矩形窗截斷后的頻譜在其信號頻率處將放大T（做譜時間長度）倍，同樣，對於相隔較遠的多頻率成分信號來說，相應的頻率成分的幅值均將因截斷而被放大T倍。 
綜合考慮這兩種原因的話，也就是說我們用FFT做出的譜實際上是放大了T/dt=N（做譜點數）倍，因此，必須將此結果除以N。 
以上是對於單頻率或相隔較遠的多頻率成分信號而言的，其他的情況得具體問題具體分析了，如加的是其他窗，就要考慮幅值恢復系數。密集頻率成分的考慮等等。 
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解釋的有道理，不過我感覺之所以除以個N，是因為我們在進行離散傅立葉變換時，是連加的，將所有采樣的點都加在了一起，所以最后要除以N，不知說得對不對。 
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一開始也是這么想的,可后來覺得這樣解釋不對. 
因為有時這樣解釋是不對的,例如你構造一個低通濾波器序列,照這樣解釋的話它的頻譜同樣得除以N,但事實上並不需要,這主要的原因就是它本身是一個連續頻率成分. 
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對於單頻率的信號，經過矩形窗截斷后，在頻譜上為什么要乘以2/N來求得該信號的幅值，這可以經嚴格的數學推導得出的，它是由sinc函數產生的。現把它的推導過程列於下：---圖片見原帖 
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FFT是個算法，至於點數N的處理，有些教科書上是除在FFT上，有些是除在IFFT上，因為FT是個變換，所以要保證 x=IFFT( FFT(x) )成立。 

具體的計算公式還是要去研究DFT的一些東東，請樓主不妨參考一下這篇文獻： 嚴普強等，動態測試信號處理中時-頻域變換算法的討論，振動測試與診斷，23（2），2003：120-124。 對傅氏變換，傅立葉級數等一些基本概念做了比較詳細的討論 
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除以N，是為了傅立葉逆變換的時候在數值上相應，其實對於分析來說意義並不是很大，所以除跟不除以N關系不是很大 
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怎么一會N一會N/2?? 
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“2”是做單邊譜的時候用。 
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當輸入樣點數據為實數時除以2/N 
當輸入樣點數據為復數時除以N 
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求有效值必須除以N 
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不要先想DFT，先看看原始的傅里葉級數和傅里葉變換的公式，自己動手推導一下DFT就知道為什么要除以N了，注意，除以N得到的是雙邊譜幅值 
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    根據樓上的說法，除以N得到的雙邊譜，除以N同時乘以2得到的是單邊譜，是這個意思嗎？？ 
是的。雙邊譜意味着有正負頻率，只有數學意義，一般可以叫做數學譜；單邊譜只有正頻率，叫物理譜，一般具體工程問題的譜，都是指物理譜。 
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下面是另一個關於功率譜和功率譜密度的討論的帖子： 
http://www.chinavib.com/forum/thread-26594-1-123.html 

對信號加漢寧窗是為了截取1024個樣值，再做DFT變換成幅度譜，取絕對值再平方是求頻率線上的能量（還是功率？搞不清），為什么要除以1/N？最后為什么會產生512條頻率線？請指教！ 
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加漢寧窗不僅是為了截取,同時還是為了減少泄露和干涉. 
為什么要除以N,和為什么產生512條譜線,可參看本版其他帖. 
還有這個公式求功率譜有問題,應該再乘上漢寧窗的能量恢復系數1.633 
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看了論壇上的其他帖子，可是依然很混亂，資料上給出的這個公式說是求功率譜密度的，可是對它的意義還是不十分了解。
先結合我在論壇上看的功率譜方面的帖子，總結以下幾點吧： 
1，功率譜密度==功率譜； 
2，分析功率有限信號采用功率譜，能量有限信號采用能量譜； 
3，分析確定信號用頻譜，分析隨機信號用功率譜； 
4，我們所說的“頻譜”大部分指的是幅度譜（雙邊譜），是對信號做了DFT或FFT后得到的； 
5，對幅度譜（雙邊譜）平方后乘2可轉化為單邊譜； 
6，求功率譜（功率譜密度）是將DFT或FFT后的結果平方； 


問題是： 
1，對於確定信號，幅度譜是否等同於功率譜（即直接作DFT或FFT變換就可得到）？ 
2，對於隨機信號，功率譜采用直接法是做DFT或FFT后絕對值得平方除以N? 
3，功率譜求出的幅度是相對值，轉化為絕對幅度的方法到底是除以采樣頻率還是頻率分辨率？ 
以下問題針對附件給出的公式： 
4，若用fft函數怎樣求出512條譜線？ 
5，對於用1024點DFT變換作出的512條譜線的含義，為什么不作成1024條？ 

請大家來指點一下，如果有不對的地方希望提出！ 
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回答:1 功率譜是幅度譜的平方(會相差一個系數) 
         2 可以這樣做 
         3 取決於你功率譜的求法,不好回答,方法很多的. 
         4 512條是你具體問題中的出現的,不是必然 
         5 1024點DFT后關於原點對稱,是雙邊譜,而我們只用單邊譜,故只有一半的點數 
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但是對於式子里出現的1/N還是不清楚，查了一些資料，功率譜密度是DFT,FFT后絕對值的平方，那1/N的出現是什么意思呢？ 
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這里給出的功率譜（密度）都是相對值，功率譜計算的方法之一是由FFT后的譜線平方來得到。但作FFT時，有的在FFT的公式中乘以(1/N)，因此在你的式子中就有了(1/N)這因子，也有人把這因子放在IFFT中，這時表示出的功率譜計算中便沒有這個因子。