1、二維插值之插值節點為網格節點
已知m x n個節點：（xi，yj，zij）(i=1…m,j=1…n)，且xi,yi遞增。求（x，y）處的插值z。
Matlab可以直接調用interp2(x0,y0,z0,x,y,`method`)
其中 x0,y0 分別為 m 維和 n 維向量，表示節點， z0 為 n × m 維矩陣，表示節點值， x,y
為一維數組，表示插值點， x 與 y 應是方向不同的向量，即一個是行向量，另一個是列
向量， z 為矩陣，它的行數為 y 的維數，列數為 x 的維數，表示得到的插值， 'method'
的用法同上面的一維插值。
如果是三次樣條插值，可以使用命令
pp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds), z=fnval(pp,{x,y})
其中 x0,y0 分別為 m 維和 n 維向量， z0 為 m × n 維矩陣， z 為矩陣，它的行數為 x 的維
數，列數為 y 的維數，表示得到的插值，具體使用方法同一維插值。
eg:
(1)、用interp2函數插值：
x=100:100:500; y=100:100:400; z=[636 697 624 478 450 698 712 630 478 420 680 674 598 412 400 662 626 552 334 310]; p=100:1:500; q=100:1:400; q=q';%須為列向量 z0=interp2(x,y,z,p,q);%分段線性插值 z1=interp2(x,y,z,p,q,'spline');%三次線條插值 subplot(2,1,1); mesh(p,q,z0); title('分段線性插值'); subplot(2,1,2); mesh(p,q,z1); title('三次線條插值'); %可以觀察出，三次線條插值的圖像更平滑
運行結果：
(2)、用csape函數插值：
x=100:100:500; y=100:100:400; z=[636 697 624 478 450 698 712 630 478 420 680 674 598 412 400 662 626 552 334 310]; p=100:1:500; q=100:1:400; q=q'; %三次線條插值 pp=csape({x,y},z');%注意跟interp2的區別,有個轉置 z0=fnval(pp,{p,q}); mesh(p,q,z0');%注意跟interp2的區別,有個轉置 title('三次線條插值');
運行結果：
2、二維插值之插值節點為散亂節點
已知 n 個節點： ( xi , yi , zi )(i = 1,2,…, n) ，求點 (x, y) 處的插值 z 。
對上述問題， Matlab 中提供了插值函數 griddata，其格式為：
ZI = GRIDDATA(X,Y,Z,XI,YI)
其中 X、 Y、 Z 均為 n 維向量，指明所給數據點的橫坐標、縱坐標和豎坐標。向量 XI、
YI 是給定的網格點的橫坐標和縱坐標，返回值 ZI 為網格（ XI， YI）處的函數值。 XI
與 YI 應是方向不同的向量，即一個是行向量，另一個是列向量。
eg:
%散亂節點的二維插值 x=[129 140 103.5 88 185.5 195 105 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5]; y=[7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5]; z=-[4 8 6 8 6 8 8 9 9 8 8 9 4 9]; x0=[75:1:200]; y0=[-85:1:145]'; z0=griddata(x,y,z,x0,y0,'cubic');%保凹凸性3次插值 %[xx,yy]=meshgrid(x0,y0);無需采樣，故不需要該函數 mesh(x0,y0,z0);
運行結果:
在上述問題中,補上尋找最大值的程序:
%max(z0)返回一個行向量，向量的第i個元素是矩陣A的第i列上的最大值 %find(A) 尋找矩陣A非零元素下標,返回矩陣A中非零元素所在位置 %[i,j,v]=find(A)返回矩陣A中非零元素所在的行i,列j,和元素的值v(按所在位置先后順序輸出) [p,q]=find(z0==max(max(z0))); zmax=z0(p,q)
3、最小二乘法實現曲線擬合
（1）用最小二乘法求一個形如 y = a + bx^ 2 的經驗公式：
%等價於[1,x^2][a;b]=y,轉換成解超定方程問題，超定方程的解是根據最小二乘法得來的 x=[19 25 31 38 44]'; y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]'; r=[ones(5,1),x.^2] ab=r\y x0=19:0.1:44; y0=ab(1)+ab(2)*x0.^2; plot(x,y,'o',x0,y0,'r')
（2）多項式擬合
%a=polyfit(x,y,n)用多項式求過已知點的表達式，其中x為源數據點對應的橫坐標，可為行向量、矩陣，y為源數據點對應的縱坐標，可為行向量、矩陣，n為你要擬合的階數，一階直線擬合，二階拋物線擬合，並非階次越高越好，看擬合情況而定，a為m+1的行向量。polyfit函數的數學基礎是最小二乘法曲線擬合原理，所得到的函數值在基點處的值與原來點的坐標偏差最小，常用於數據擬合，polyfit 做出來的值從左到右表示從高次到低次的多項式系數。
如果要求擬合函數在x`點的函數值，可以調用polyval(a,x`)函數
eg：
x0=[1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996]; y0=[70 122 144 152 174 196 202]; %畫出散點圖 plot(x0,y0,'ro'); hold on %用線性擬合 p=polyfit(x0,y0,1); z0=polyval(p,x0); plot(x0,z0);
運行結果：
4、最小二乘優化 (最小二乘:least square)
1、lsqlin函數
eg：
%擬合形如y=a+bx^2的函數 %采樣點 x=[19 25 31 38 44]'; y=[19 32.3 49 73.3 97.8]'; r=[ones(5,1),x.^2]; ab=lsqlin(r,y) x0=19:0.1:44; y0=ab(1)+ab(2)*x0.^2; plot(x,y,'o',x0,y0,'r')
運行結果：
5、曲線擬合與函數逼近
eg：
求 f(x) =cos x, （-pi/2<=x<=pi/2） 在 H = Span{1, x^2 , x^4} 中的最佳平方逼近多項式。
程序如下：
syms x%定義符號數值 base=[1,x^2,x^4]; y1=base.'*base y2=cos(x)*base.' r1=int(y1,-pi/2,pi/2) r2=int(y2,-pi/2,pi/2) a=r1\r2%a為符號數值 xishu1=double(a)%化簡符號數值 digits(8)%設置符號數值的精度 xishu2=vpa(a)%任意精度（符號類）數值
運行結果：
y1 =
[ 1, x^2, x^4]
[ x^2, x^4, x^6]
[ x^4, x^6, x^8]
y2 =
cos(x)
x^2*cos(x)
x^4*cos(x)
r1 =
[ pi, pi^3/12, pi^5/80]
[ pi^3/12, pi^5/80, pi^7/448]
[ pi^5/80, pi^7/448, pi^9/2304]
r2 =
2
pi^2/2 - 4
pi^4/8 - 6*pi^2 + 48
a =
(15*(pi^4 - 308*pi^2 + 3024))/(4*pi^5)
-(210*(pi^4 - 228*pi^2 + 2160))/pi^7
(1260*(pi^4 - 180*pi^2 + 1680))/pi^9
xishu1 =
0.9996
-0.4964
0.0372
xishu2 =
0.99957952
-0.49639233
0.037209327
>>
所以y的最佳平方逼近多項式為y=0.9996-0.4964x^2+0.0372x^4