在非負整數集上定義一個函數f,它滿足f(0)=0,且f(x)=2f(x-1)+x^2.從這個定義可以看出f(1)=1,f(2)=6,f(3)=21,f(4)=58。當一個函數用自身定義時就稱為遞歸(recursive).即，一個函數直接或間接地調用自身，是為直接或間接遞歸。C++是允許遞歸的。但必須記住，C++所做的僅僅是試圖遵循遞歸的思想。不是所有的數學遞歸函數都能有效的用C++遞歸模擬來實現。要點在於，遞歸函數f應該像非遞歸函數一樣只用幾行代碼就能表示出來。下圖給出了函數f的遞歸實現。
1 int f(int x) { 2 if (x == 0) 3 return 0; 4 else 5 return 2 * f(x - 1) + x * x; 6 }
第2行和第3行處理基准情況(base case)，即此時函數的值可以直接算出來而不用遞歸。正如在沒有f(0)=0的前提下。聲稱f(x) = 2f(x - 1) + x^2.在數學上沒有意義一樣。C++的遞歸方法若無基准情況也是毫無意義的。第5行執行的是遞歸調用。
編寫遞歸程序的時候，關鍵是要牢記遞歸的四條基本法則：
- 基准情形。 必須有某些基准情形不用遞歸就能求解。
- 不斷推進。 對於那些需要遞歸求解的情形。遞歸調用必須總能朝着基准情形的方向邁進。
- 設計法則。 假設所有的遞歸調用都能運行。
- 合成效益法則。 在求解一個問題的同一實例時，切勿在不同的遞歸調動中做重復性的工作。（攤還分析）
遞歸和循環
如果我們要重復地多次計算相同的問題，通常可以選擇用遞歸或者循環兩種不同的方法。遞歸是在一個函數的內部調用這個函數自身。而循環這是通過設置計算的初始值及終止條件，在一個范圍內重復計算。比如求1+2+3+...+n,我們可以用遞歸或者循環兩種方式求出結果。對應的代碼如下：
int AddFrom1ToN_Recursive(int n) {
return n <= 0 ? n + AddFrom1ToN_Recursive(n - 1);
}
int AddFrom1ToN_Iternative(int n) {
int result = 0;
for (int i = 0; i <= n; ++i)
result += i;
return result;
}
通常遞歸的代碼比較簡潔。在上面的例子中，遞歸的代碼只有一個語句。而循環的則需要四個語句。在樹的前序、中序、后序遍歷算法的代碼中，遞歸的實現明顯要比循環簡單的多。
面試小提示：
通常基於遞歸的代碼要比基於循環實現的代碼要簡潔很多，更加容易實現。如果面試官沒有特殊要求，應聘者可以優先采用遞歸的方法編程。
遞歸雖然有簡潔的優點，但它同時也有顯著的缺點。
遞歸由於是函數調用自身，而函數調用是有空間和時間的消耗的：每一次函數調用，都需要在內存棧中分配空間以保存參數、返回的地址及臨時變量，而且往棧里壓入數據和彈出數據都需要時間。這就不難理解上述的例子中遞歸實現的效率不如循環。
另外，遞歸中有可能很多計算都是重復的，從而對性能帶來很大的負面影響。遞歸的本質是把一個問題分解成兩個或多個小問題。如果多個小問題存在相互重疊的部分，那么就存在重復的計算。
除了效率以外，遞歸還有可能引起更嚴重的問題：調用棧溢出。前面分析中提到需要為每一次函數調用在內存棧中分配空間，而每個進程的棧的容量是有限的。當遞歸調用的層級太多時，就會超出棧的容量，從而導致棧溢出。在上述的例子中，如果輸入的參數比較小，如10，它們都能返回結果55.但如果輸入的參數很大，比如5000，那么遞歸代碼在運行的時間就會出錯，但運行循環的代碼能得到正確的結果12502500.
相關資料：
1. http://community.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=recursionPt1
2. http://www.nowamagic.net/librarys/veda/detail/2314
參考資料：
1. 《數據結構與算法分析C++描述》 Mark Allen Weiss
2. 《劍指offer》 何海濤