地球坐標系與投影方式的理解(關於北京54,西安80,WGS84;高斯,蘭勃特,墨卡托投影)

一、地球模型

地球是一個近似橢球體，測繪時用橢球模型逼近，這個模型叫做參考橢球，如下圖：

赤道是一個半徑為a的近似圓，任一圈經線是一個半徑為b的近似圓。a稱為橢球的長軸半徑，b稱為橢球的短軸半徑。

a≈6378.137千米，b≈6356.752千米。（實際上，a也不是恆定的，最長處和最短處相差72米，b的最長處和最短處相差42米，算很小了）

地球參考橢球基本參數：

長軸：a

短軸：b

扁率：α=(a-b) / a

第一偏心率：e=√(a²-b²) / a

第二偏心率：e^'=√(a²-b²) / b 

 

這幾個參數定了，參考橢球的數學模型就定了。

 

什么是大地坐標系？

大地坐標系是大地測量中以參考橢球面為基准面建立起來的坐標系。地面點的位置用大地經度、大地緯度和大地高度表示：(L, B, H)。

空間直角坐標系是以參考橢球中心為原點，以原點到0度經線與赤道交點的射線為x軸，原點到90度經線與赤道交點的射線為y軸，以地球旋轉軸向北為z軸：(x, y, z)

共同點：顯然，這兩種坐標系都必須基於一個參考橢球。

不同點：大地坐標系以面為基准，所以還需要確定一個標准海平面。而空間直角坐標系則以一個點為基准，所以還需要確定一個中心點。

只要確定了橢球基本參數，則大地坐標系和空間直角坐標系就相對確定了，只是兩種不同的表達而矣，這兩個坐標系的點是一一對應的。

 

二、北京54，西安80，WGS84

網上的解釋大都互相復制，語焉不詳，隔靴搔癢，說不清楚本質區別。為什么在同一點三者算出來的經緯度不同？難道只是不認同對方的測量精度嗎？為什么WGS84選地球質心作原點，而西安80選地表上的一個點作原點？中國選的大地原點有什么作用？為什么選在涇陽縣永樂鎮？既然作為原點，為什么經緯度不是0？下面是我個人的理解。

首先，三者采用了不同的參考橢球建立模型，即長短軸扁率這組參數是不同的。

北京54： 長軸6378245m，短軸6356863，扁率1/298.2997381

西安80： 長軸6378140m，短軸6356755，扁率1/298.25722101

WGS84：長軸6378137.000m，短軸6356752.314，扁率1/298.257223563，第一偏心率0.081819790992，第二偏心率0.082095040121

這些參數不同，決定了橢球模型的幾何中心是不同的。那么為什么這三種坐標系的參數有這么大差別呢？除了測量精度不同之外，還有一個原因，就是側重點不一樣。

WGS84是面向全球的，所以它盡量逼近整個地球表面，優點是范圍大，缺點是局部不夠精確。

北京54用的是前蘇聯的參數，它是面向蘇聯的，所以它在前蘇聯區域這個曲面盡量逼近，而其它國家地區偏多少它不管。它以蘇聯的普爾科沃為中心，離那越遠，誤差就越大。

西安80是面向中國的，所以它在中國區域這個曲面盡量逼近，而其它國家地區偏多少它不管。而且這個逼近是以西安附近的大地原點為中心的，也就是說，在西安大地原點處，模型和真實地表參考海平面重合，誤差為0，而離大地原點越遠的地方，誤差越大。所謂的大地原點就是這么來的，它是人為去定的，而不是必須在那里，它要盡量放在中國的中間，使得總的誤差盡量小而分布均勻。然后，我國在自已境內進行的建築，測繪，勘探什么的所繪制的圖，都以這個大地原點為基准，去建立各種用途的地表坐標系，就能統一起來了。

所以在中國區域，WGS84模型是沒有西安80模型那么准確。而用西安80模型來算美國的點，則更不准確。現在更新為2000國家大地坐標系，參數比西安80更精確了，而道理是一樣的。

都說WGS84是質心坐標系，北京54，西安80是參心坐標系，何謂質心？何謂參心？

質心好理解，就是地球體的質量中心，WGS84坐標系面向全球定位，所以它所建立的模型是最中庸的，沒有偏向任何一個地區，橢球體模型的幾何中心與地球質心重合時，模型就會最接近整個地球。

而北京54和西安80側重於局部的精確性，而舍棄整體的精確性，當橢球模型(西安80)在中國區域最精確時，它的幾何中心肯定不是地球質心，而在別的地方。所以這個幾何中心稱之為參考中心，簡稱參心。

地球上一個點經緯度，是基於參考橢球來算的，所以，同一個地方，用北京54，西安80，WGS84算出來的經緯度是三個不一樣的值。由於GPS用的是WGS84，所以我們手機看到的是WGS84坐標系的經緯度。

 

三、地圖在平面上的投影

我們的地圖，總得畫在紙上，在顯示器上吧，不然到處拎着地球儀？地球上的點是用經緯度表示的，緯度越高的地方，1度的經度的距離就越短。那么，問題來了，地球表面是曲面，而且經緯度與長度距離並不是簡單的比例關系，怎樣畫到平面上？答案是，投影算法。好，問題又來了，投影算法哪家強？

1.高斯-克呂格投影

假設一個橢圓柱面與地球橢球體面橫切於某一條經線上，按照等角條件將中央經線東、西各3°或1.5°經線范圍內的經緯線投影到橢圓柱面上，然后將橢圓柱面展開成平面而成的。

高斯克呂格投影是分帶投影的，主要分有3度帶和6度帶兩種。3度帶就是經度每3度一個帶，全球切成120個帶；6度帶就是經度每6度一個帶，全球切成60個帶。不同的帶之間各有各的原點自成xy坐標系，不能用本帶的xy坐標系去計算其它帶的，因為原點都不同了。

高斯克呂格投影的變形分析：

①中央經線上無變形，滿足投影后長度比不變的條件；

②除中央經線上長度比為1以外，其它任何點長度比均大於1；

③在同一條緯線上，離中央經線越遠則變形越大，最大值位於投影帶邊緣。

④在同一條經線上，緯度越低變形越大，最大值位於赤道上。

⑤等角投影，無角度變形，面積比為長度比的平方。

⑥長度比的等變形線平行於中央軸子午線。

 

優點：長度和面積變形是最小的(比起其它投影)。

缺點：需要分帶，相鄰的帶不能拼接(上尖下寬怎么接？好難個)，導致覆蓋范圍小。

所以高斯投影適用於小地區的地圖，一個帶就能覆蓋的地區。

 

 2.蘭勃特投影

 

有兩種：

①等角圓錐投影。

設想用一個正圓錐切於或割於球面，應用等角條件將地球面投影到圓錐面上，然后沿一母線展開成平面。投影后緯線為同心圓圓弧，經線為同心圓半徑。沒有角度變形，經線長度比和緯線長度比相等。適於制作沿緯線分布的中緯度地區中、小比例尺地圖。市面上的中國地圖應該就是用這種投影的。

 

②等積方位投影。

設想球面與平面切於一點，按等積條件將經緯線投影於平面而成。按投影面與地球面的相對位置，分為正軸、橫軸和斜軸3種。在正軸投影中，緯線為同心圓，其間隔由投影中心向外逐漸縮小，經線為同心圓半徑。在橫軸投影中，中央經線和赤道為相互垂直的直線，其他經線和緯線分別為對稱於中央經線和赤道的曲線。在斜軸投影中，中央經線為直線，其他經線為對稱於中央經線的曲線。該投影無面積變形，角度和長度變形由投影中心向周圍增大。橫軸投影和斜軸投影較常應用，東西半球圖和分洲圖多用此投影。

 

 

3.墨卡托投影

 

假設地球被圍在一中空的圓柱里，其基准緯線與圓柱相切（赤道）接觸，然后再假想地球中心有一盞燈，把球面上的圖形投影到圓柱體上，再把圓柱體展開，這就是一幅選定基准緯線上的“墨卡托投影”繪制出的地圖。

優點：沒有角度變形，由每一點向各方向的長度比相等，它的經緯線都是平行直線，且相交成直角。

缺點：長度和面積變形明顯，緯線間隔從基准緯線處向兩極逐漸增大。但因為它具有各個方向均等擴大的特性，保持了方向和相互位置關系的正確。

墨卡托投影地圖常用作航海圖和航空圖，如果循着墨卡托投影圖上兩點間的直線航行，方向不變可以一直到達目的地，因此它對船艦在航行中定位、確定航向都具有有利條件，給航海者帶來很大方便。

谷歌地圖，百度地圖用的就是墨卡托投影，且以赤道作基准緯線。