[總結]關系數據庫設計基礎(函數依賴、無損連接性、保持函數依賴、范式、……)

≏≎≟≗≖≍≭∼∽≁≃≂≅≊≈≉≇≳⪞⪆⋧⪊≵≲⪝⪅⋦⪉≴⊂ subset ⫅⋐⊄⊊⫋⊈⊃⊇⫆⋑⊅⊋⫌⊉≺⪯≼⋞≾⪷⋨⪵⪹⊀≻⪰≽⋟≿⪸⋩⪶⪺⊁ in ∋∉∌∝≬⊸

函數依賴（Function Dependency）

定義
設關系模式R（U），屬性集合U= {A1，A2，…，An}，X，Y為屬性集合U的子集，如果對於關系模式R(U)的任一可能的關系r，r中的任意兩個元組u、v，若有 u[X]=v[X]，就有u[Y]=v[Y]，則稱X函數決定Y，或稱Y函數依賴於X。用符號X→Y表示。其中X為決定因素，Y為被決定因素。若對於R（U）的任意一個可能的關系r，r中不可能存在兩個元組在X上的屬性值性等，而在Y上的屬性值不等。
　(1) 函數依賴是語義范疇的概念，只能根據語義來確定一個函數依賴關系。
　(2) 函數依賴X→Y的定義要求關系模式R的任何可能的關系r中的元組都滿足函數依賴條件。
術語
　(1)若X→Y，則X稱作決定因素（Determinant）
　(2)若X→Y，Y→X，稱作X<->Y。
　(3)若Y不函數依賴於X，稱作X -/-> Y。
　(4)X→Y，若Y不包含X,即X ⊄ Y，則稱X→Y為非平凡的函數依賴。正常討論的都是非平凡的函數依賴。
　(5)X→Y，若Y包含X，即X ⊂ Y，則稱X→Y為平凡的函數依賴。
　(6)完全函數依賴(full functional dependency)：在R(U)中，設X、Y是關系模式R（U）中不同的屬性子集(即X  ⊂ U,Y  ⊂ U),

　　　　若存在 X→Y，且不存在 X的任何真子集X'(即 X' ⊊ X)，使得 X'→Y，則稱Y完全函數依賴 ( full functional dependency ) 於X。記作 X-F->Y。

　(7)部分函數依賴：在關系模式R（U）中，X、Y是關系模式R（U）中不同的屬性子集(即X  ⊂ U,Y  ⊂ U),

　　　　若X→Y成立，如果X中存在任何真子集X'(即 X' ⊊ X)，而且有X'→Y也成立，則稱Y對X是部分函數依賴，記作：X-P->Y。

　(8)設R是關系模式，U是其屬性集，K包含於U(即K ⊂ U) 。若K完全函數確定U，則稱K是R的候選鍵(又叫候選關鍵字，候選碼)。包含在任意候選鍵內的屬性稱為鍵屬性（又叫主屬性），不是鍵屬性的屬性稱為非鍵屬性（又叫非主屬性）。顯然，候選鍵可以唯一　　標識關系的元組。候選鍵可能不唯一，通常指定一個候選鍵作為識別元組的主鍵。

 　(9)若關系R的屬性子集X是另一關系S的候選鍵，則稱X是R關於S的外部鍵。主鍵和外部鍵描述了關系之間的聯系。
　 (10)傳遞函數依賴：在關系模式R(U) 中，如果X→Y，Y→A，且YX（Y不決定X）， AY（A不屬於Y）,那么稱X→A是傳遞依賴。

一題搞懂什么是候選鍵

 

學號	姓名	性別	年齡	系別	專業
20020612	李輝	男	20	計算機	軟件開發
20020613	張明	男	19	計算機	軟件開發
20020614	王小玉	女	18	物理	力學
20020615	李淑華	女	17	生物	動物學
20020616	趙靜	男	21	化學	食品化學
20020617	趙靜	女	20	生物	植物學

【題目】數據庫中有一個學生信息表如上所示，在該表中不能作為候選鍵的屬性集合為（ ） （選擇一項）

a）{學號}              b）{學號、姓名}            c）{年齡、系別}            d）{姓名、性別}            e）{姓名、專業}

【解析】透過概念，我們可以了解到，超鍵包含着候選鍵，候選鍵中包含着主鍵。主鍵一定是惟一的。為什么呢？因為他的爺爺超鍵就是惟一的。
我們分析一下上面的題目，a，b，c，d，e，5個答案都可以作為超鍵，他們組合在一起的集合可以用來惟一的標識一條數據記錄（實體）。
請注意我們的要求：候選鍵。候選鍵要求是不能包含多余屬性的超鍵，我們看一下答案b。在答案b中，如果我們不使用姓名也可以惟一的
標識一條數據實體，可以說姓名字段在這里是多余的。那么很明顯，b選項包含了多余字段屬性。那么這題答案應該選擇b。

那么其他的4個選項都可以作為候選鍵，假設很幸運，a）｛學號｝被選擇作為用戶正在使用的候選鍵來惟一標識元組了，那么他很幸運的獲得了主鍵的稱號

【答案】b

 

函數依賴的推理規則

1. 邏輯蘊含
　　給定一個關系模式，只考慮給定的函數依賴是不夠的，必須找出在該關系模式上成立的其他函數依賴。
　　邏輯蘊含：設F是關系模式R（U）的函數依賴集合，由F出發，可以證明其他某些函數依賴也成立，我們稱這些函數依賴被F邏輯蘊含。"F蘊含X→Y"意味着關系實例只要滿足F就滿足X→Y。
　　例如，設F={ A→B，B→C }，則函數依賴A→C被F邏輯蘊含，記作：F |= A→C。即函數依賴集 F 邏輯蘊含函數依賴A→C。

2. F的閉包F⁺
　　對於一個關系模式，如何由已知的函數依賴集合F，找出F邏輯蘊涵的所有函數依賴集合呢？這就是我們下面要討論的問題。
　　F的閉包F⁺：設F為一個函數依賴集，F的閉包是指F邏輯蘊涵的所有函數依賴集合。 F的閉包記作F⁺。
　　例如，給定關系模式R(A,B,C,G,H,I)，函數依賴集合F={A→B，A→C，CG→H，CG→I，B→H}。可以證明函數依賴A→H被F邏輯蘊涵。
　　設有元組s和t，滿足s[A]=t[A]，根據函數依賴的定義，由已知的A→B，可以推出s[B]=t[B]。又根據函數依賴B→H，可以有 s[H]=t[H]。因此，已經證明對任意的兩個元組s和t，只要有s[A]=t[A]，就有s[H]=t[H]。所以，函數依賴A→H被F邏輯蘊涵。
　　計算F的閉包F⁺，可以由函數依賴的定義直接計算，如上面的示例。

 

當F很大時，計算的過程會很長。為了從已知的函數依賴推導出其它函數依賴，Armstrong 提出了一套推理規則，稱為Armstrong 公理 ，通過反復使用這些規則，可以找出給定F的閉包F⁺。

3．Armstrong 公理
　　設U為屬性總體集合，F為U上的一組函數依賴集，對於關系模式R（U，F），X、Y、Z為屬性U的子集，有下列推理規則：

　　在此先說一下 Armstrong 的基本公理和推理規則：

　　基本公理：

　　1）（自反律）如果 Y ∈ X∈ U，則 X → Y 成立。（平凡函數依賴）

　　2）（增廣律）如果 X → Y 在 R(U)  成立，且 Z∈ U，則 XZ → YZ成立

　　3）（傳遞律）如果 X → Y，Y → Z 成立，則 X → Z 成立。

　　推理規則：

　　1）（合並）：{X → Y，X → Z}，則 X → YZ

　　2）（分解）：{X → Y，Z ∈ Y}，則 X → Z。（或：X → YZ，那么 X → Y，X → Z）

　　3）（偽傳遞）：{X → Y,YW → Z}，則 WX → Z

　　4）（復合）：{X → Y，W → Z},則 XW → YZ

　　5）（自積律）：{X → YZ，Z → W}，則 X → YZW

4．屬性集的閉包
　　原則上講，對於一個關系模式R(U,F)，根據已知的函數依賴F，反復使用前面的規則，可以計算函數依賴集合F的閉包F⁺。但是，利用推理規則求出其全部的函數依賴F⁺是非常困難的，而且也沒有必要。因此，可以計算閉包的子集，即選擇一個屬性子集，判斷該屬　　性子集能函數決定哪些屬性，這就是利用屬性集閉包的概念。
　（1）屬性集閉包的定義
　　設F為屬性集U上的函數依賴集，X∈U，即X為U的一個子集。在函數依賴集F下被X函數決定的所有屬性為F⁺下屬性集X的閉包，記作X⁺。即X⁺＝{ A| X→A } 。
　（2）計算屬性集閉包X⁺的算法如下：
　　輸入：X，F
　　輸出： X⁺
　　迭代算法的步驟：
　　① 選取X⁺的初始值為X ，即X⁺＝{X}；
　　② 計算X⁺， X⁺＝{X,Z} ，其中Z要滿足如下條件：
     Y是X⁺的真子集，且F中存在一函數依賴Y→Z。實際上就是以X⁺中的屬性子集作為函數依賴的決定因素，在F中搜索函數依賴集，找到函數依賴的被決定屬性Z放到X⁺中。
　　③ 判斷：如果X⁺沒有變化？或X⁺等於U？則X⁺就是所求的結果，算法終止。否則轉②。
　  因為U是有窮的，所以上述迭代過程經過有限步驟之后就會終止。

　例如，已知關系模式R(U,F)，U={A,B,C,D,E,G}，F={AB→C,D→EG,C→A,BE→C,BC→D,AC→B,CE→AG},求(BD)⁺
　　　解：
　　　① (BD)⁺ = {BD}；
　　　② 計算(BD)⁺ ，在F中掃描函數依賴，其左邊為B,D或BD的函數依賴，得到一個D→EG。所以，(BD)⁺= {BDEG}。
　　　③ 計算(BD)⁺，在F中查找左部為BDEG的所有函數依賴，有兩個：D→EG和BE→C。所以(BD)⁺＝{(BD)∪EGC}={BCDEG}。
　　　④ 計算(BD)⁺，在F中查找左部為BCDEG子集的函數依賴，除去已經找過的以外，還有三個新的函數依賴：C→A,BC→D,CE→AG。得到(BD)⁺＝{(BD)∪ADG}＝{ABCDEG}。
　　　⑤ 判斷(BD)⁺=U，算法結束。得到(BD)⁺＝{ABCDEG}。
　　說明：上面說明(B,D)是該關系模式的一個候選碼。

5. Armstrong公理系統的有效性和完備性
　　①Armstrong公理系統的有效性指的是：由F出發根據Armstrong公理系統推導出來的每一個函數依賴一定是F所邏輯蘊含的函數依賴。
　　②Armstrong公理系統的完備性指的是：對於F所邏輯蘊含的每一函數依賴，必定可以由F出發根據Armstrong公理系統推導出來。

6. 極小函數依賴集（最小函數依賴集）

　　概念：對於函數集 F ，稱函數集F_min 為F 的最小函數依賴集，如果 F_min滿足一下條件：

 

　　1）F_min與 F等價：F_min⁺=F⁺。

 

　　2）F_min中每個函數依賴 X→Y 的依賴因素為單元素集，即Y中只含有一個屬性集合。

 

　　3）F_min中每個函數依賴 X→Y的決定因素不存在冗余，即既要刪除X中任何一個屬性，就會改變F_min的閉包。

 

　　4）F_min中每個函數毒不是冗余的，即刪除 F_min 中任意一個函數依賴，就會改變Fmin 的閉包。

 

　　定義：如果函數依賴集F滿足下列條件，則稱F為最小函數依賴集或最小覆蓋。 　　
 　　① F中的任何一個函數依賴的右部僅含有一個屬性； 　　
 　　② F中不存在這樣一個函數依賴X→A，使得F與F-{X→A}等價；
 　　③ F中不存在這樣一個函數依賴X→A，X有真子集Z使得F-{X→A}∪{Z→A}與F等價。 　　
　　求最小函數依賴集分三步:
 　　1.將F中的所有依賴右邊化為單一元素
 　　此題fd={abd->e,ab->g,b->f,c->j,cj->i,g->h};已經滿足
 　　2.左邊的冗余屬性.
 　　作法是屬性中去掉其中的一個,看看是否依然可以推導
 　　此題:abd->e,去掉a,則(bd)+不含e,故不能去掉,同理b,d都不是冗余屬性
 　　ab->g,也沒有
 　　cj->i,因為c+={c,j,i}其中包含i所以j是冗余的.cj->i將成為c->i
 　　F={abd->e,ab->g,b->f,c->j,c->i,g->h};

 　　3.去掉F中所有冗余依賴關系.
 　　做法為從F中去掉某關系,如去掉(X->Y),然后在F中求X+,如果Y在X+中,則表明x->是多余的.需要去掉.

　　此題如果F去掉abd->e,F將等於{ab->g,b->f,c->j,c->i,g->h},而(abd)+={a,d,b,f,g,h},其中不包含e.所有不是多余的.

 　　同理(ab)+={a,b,f}也不包含g,故不是多余的.
 　　b+={b}不多余,c+={c,i}不多余
 　　c->i,g->h多不能去掉.
 　　所以所求最小函數依賴集為 F={abd->e,ab->g,b->f,c->j,c->i,g->h};

 

多值依賴

1、定義

設R(U)是屬性集U上的一個關系模式。X，Y，Z是U的子集,並且Z=U-X-Y。關系模式R(U)中多值依賴X→→Y成立，當且僅當對R(U)的任一關系r,給定的一對(x，z)值有一組Y的值，這組值僅僅決定於x值而與z值無關。

若X→→Y，而Z＝，則稱X→→Y為平凡的多值依賴。否則稱X→→Y為非平凡的多值依賴。

多值依賴也可以形式化地定義如下： 在關系模式R（U）的任一關系r中，如果對於任意兩個元組t,s,有t[X]=s[X]，就必存在元組w,v∈r（w和v可以與s和t相同）,使得 w[X]=v[X]=t[X]，而w[Y]=t[Y],w[Z]=s[Z],v[Y]=t[Z]，即交換s,t元組的Y值所得的兩個新元組必在r中，則稱Y多值依賴於X，記為X→→Y。其中，X和Y是U的子集，Z＝U-X-Y。

多值依賴屬4nf的定義范圍，比函數依賴要復雜得多，很多書上都沒有講清楚。

2、說得簡單點就是

在關系模式中，函數依賴不能表示屬性值之間的一對多聯系，這些屬性之間有些雖然沒有直接關系，但存在間接的關系，把沒有直接聯系、但有間接的聯系稱為多值依賴的數據依賴。例如，教師和學生之間沒有直接聯系，但教師和學生可通過系名，或任課把教師和學生聯系起來。

3、舉例如下

【例1】有這樣一個關系 <倉庫管理員，倉庫號，庫存產品號> ，假設一個一個產品只能放到一個倉庫中，但是一個倉庫可以由若干管理員，那么對應於一個 <倉庫管理員，庫存產品〉有一個倉庫號，而實際上，這個倉庫號只與庫存產品號有關，與管理員無關，就說這是多值依賴。

【例2】（C，B） 上的一個值（物理，光學原理）對應一組T值（李平，王強，劉明），這組值僅僅決定於課程C上的值，也就是說對於（C，B）上的另一個值（物理，普通物理 學），它對應的一組T值仍是（李平，王強，劉明），盡管這時參考書B的值已經改變了。因此T多值依賴於C，即C→→T。

4、多值依賴具有下列性質

●多值依賴具有對稱性。即若X→→Y，則X→→Z，其中Z＝U－X－Y。

●多值依賴具有傳遞性。即若X→→Y，Y→→Z，則X→→Z－Y。

●函數依賴可以看作是多值依賴的特殊情況。

●若X→→Y，X→→Z，則X→→YZ。

●若X→→Y，X→→Z，則X→→Y∩Z。

●若X→→Y，X→→Z，則X→→Y－Z，X→→Z－Y。

●多值依賴的有效性與屬性集的范圍有關。

●若多值依賴X→→Y在R（U）上成立，對於Y'Y，並不一定有X→→Y’成立。但是如果函數依賴X→Y在R上成立，則對於任何Y'Y均有X→Y’成立。

范式

無重復的列】

• 如果關系模式R為第一范式，並且R中每一個非主屬性完全函數依賴於R的某個候選鍵，則稱為第二范式模式。【消去非主屬性對鍵的部分函數依賴】
缺點：刪除異常，插入異常，修改復雜
消去非主屬性對鍵的部分和傳遞函數依賴】
部分和傳遞函數依賴】

X)，X都含有碼,則稱R∈4NF。【消除非平凡且非函數依賴的多值依賴】

⋈ ⋈ http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%BA%93%E8%A7%84%E8%8C%83%E5%8C%96以下的論述都基於這樣一個前提：
R是具有函數依賴集F的關系模式，（R1 ，R2）是R的一個分解。

首先我們給出一個看似無關卻非常重要的概念：屬性集的閉包。
令α為一屬性集。我們稱在函數依賴集F下由α函數確定的所有屬性的集合為F下α的閉包，記為α+ 。
下面給出一個計算α+的算法，該算法的輸入是函數依賴集F和屬性集α，輸出存儲在變量result中。
算法一：
result:=α;
while(result發生變化)do
    for each 函數依賴β→γ in F do
    begin
        if β∈result then result:=result∪γ;
    end

屬性集閉包的計算有以下兩個常用用途：
·判斷α是否為超碼，通過計算α+（α在F下的閉包），看α+ 是否包含了R中的所有屬性。若是，則α為R的超碼。
·通過檢驗是否β∈α+，來驗證函數依賴是否成立。也就是說，用屬性閉包計算α+，看它是否包含β。

（請原諒我用∈符號來表示兩個集合之間的包含關系，那個表示包含的符號我找不到，大家知道是什么意思就行了。）

看一個例子吧，2005年11月系分上午37題：

● 給定關系R(A1，A2，A3，A4)上的函數依賴集F={A1→A2，A3→A2，A2→A3，A2→A4}，R的候選關鍵字為________。
（37）A. A1 　B. A1A3 　C. A1A3A4 　D. A1A2A3

首先我們按照上面的算法計算A1+ 。
result=A1，
由於A1→A2，A1∈result，所以result=result∪A2=A1A2
由於A2→A3，A2∈result，所以result=result∪A3=A1A2A3
由於A2→A4，A2∈result，所以result=result∪A3=A1A2A3A4
由於A3→A2，A3∈result，所以result=result∪A2=A1A2A3A4

通過計算我們看到，A1+ =result={A1A2A3A4}，所以A1是R的超碼，理所當然是R的候選關鍵字。此題選A 。

好了，有了前面的鋪墊，我們進入正題。

無損分解的判斷。
如果R1∩R2是R1或R2的超碼，則R上的分解（R1，R2）是無損分解。這是一個充分條件，當所有的約束都是函數依賴時它才是必要條件（例如多值依賴就是一種非函數依賴的約束），不過這已經足夠了。

保持依賴的判斷。
如果F上的每一個函數依賴都在其分解后的某一個關系上成立，則這個分解是保持依賴的（這是一個充分條件）。
如果上述判斷失敗，並不能斷言分解不是保持依賴的，還要使用下面的通用方法來做進一步判斷。
該方法的表述如下：
算法二：
對F上的每一個α→β使用下面的過程：
result:=α;
while(result發生變化)do
    for each 分解后的Ri
        t=(result∩Ri)+ ∩Ri
        result=result∪t

這里的屬性閉包是在函數依賴集F下計算出來的。如果result中包含了β的所有屬性，則函數依賴α→β。分解是保持依賴的當且僅當上述過程中F的所有依賴都被保持。

下面給出一個例題，2006年5月系分上午43題：

●設關系模式R<U, F>，其中U=｛A, B, C, D, E｝，F＝{A→BC，C→D，BC→E，E→A｝，則分解ρ={R1（ABCE），R2（CD）｝滿足 （43） 。
（43） A．具有無損連接性、保持函數依賴
              B．不具有無損連接性、保持函數依賴
              C．具有無損連接性、不保持函數依賴
              D．不具有無損連接性、不保持函數依賴

先做無損鏈接的判斷。R1∩R2={C}，計算C+。

Result=C
由於C→D，C∈result，所以result=result∪D=CD
可見C是R2的超碼，該分解是一個無損分解。

再做保持依賴的判斷。
A→BC，BC→E， E→A都在R1上成立（也就是說每一個函數依賴左右兩邊的屬性都在R1中），C→D在R2上成立，因此給分解是保持依賴的。

選A。

再看一個復雜點的例題。2007年5月數工40-41題。

●給定關系模式R<U, F>，U=｛A, B, C, D, E｝，F＝{B→A，D→A，A→E，AC→B｝，其候選關鍵字為
（40） ，則分解ρ={R1（ABCE），R2（CD）｝滿足 （41） 。
（40） A．ABD
              B．ABE
              C．ACD
              D．CD
（41） A．具有無損連接性、保持函數依賴
              B．不具有無損連接性、保持函數依賴
              C．具有無損連接性、不保持函數依賴
              D．不具有無損連接性、不保持函數依賴

看見了吧，和前面一題多么的相像！
對於第一問，分別計算ABCD四個選項的閉包，
（ABD）+ = { ABDE }
（ABE）+ = { ABE }
（ACD）+ = { ABCDE }
（CD）+ = { ABCDE }
選D。

再看第二問。
先做無損鏈接的判斷。R1∩R2={C}，計算C+。

result=C
因此C既不是R1也不是R2的超碼，該分解不具有無損分解性。

再做保持依賴的判斷。
B→A，A→E，AC→B在R1上成立，D→A在R1和R2上都不成立，因此需做進一步判斷。
由於B→A，A→E，AC→B都是被保持的（因為它們的元素都在R1中），因此我們要判斷的是D→A是不是也被保持。

對於D→A應用算法二：
result=D
對R1，result∩R1=ф（空集，找不到空集的符號，就用這個表示吧），t=ф，result=D
再對R2，result∩R2=D，D+ =ADE ，t=D+ ∩R2=D，result=D
一個循環后result未發生變化，因此最后result=D，並未包含A，所以D→A未被保持，該分解不是保持依賴的。

選D。