Google面試題之100層仍兩個棋子

一道Google面試題，題目如下：“有一個100層高的大廈，你手中有兩個相同的玻璃圍棋子。從這個大廈的某一層扔下圍棋子就會碎，用你手中的這兩個玻璃圍棋子，找出一個最優的策略，來得知那個臨界層面。“

版本一：

　　為了得到兩個棋子的最優策略，我們先簡化問題，看看一個棋子的情況。如果手中只有一個棋子，為了得知臨界層面，你只有一種選擇：從2樓開始，一層一層地試，直到棋子被打碎，此時你站的樓層就是所求的臨界層面。在最差的情況下，我們需要投擲99-2+1=98次，你可能奇怪為什么不是100-2+1=99次，那是因為題目已經告訴我們“從這個大廈的某一層扔下圍棋子就會碎”，所以在99層扔下來還沒碎的話就不用去100層了——從那里扔它一定會碎。

　　從一個棋子的策略我們可以看出，一個棋子就足以解答這個問題了。現在又多了一個棋子，該如何利用它呢？很自然地，我們希望能通過這個棋子縮小這種一層一層查找的范圍。為了縮小范圍，我們將整個大廈的層數分成x段，在這x段中查找那個臨界段，然后在臨界段中再一層一層地找臨界層。比如可以將大樓分成4段，我們分別在25層、50層、75層投擲棋子，以確定臨界段；如果臨界段在25層到50層，我們再從26層開始一層一層查找臨界層。

　　分析到這里，問題就轉化成了如何確定分段數x使棋子投擲的次數最少的問題。在最差的情況下，要確定臨界段，我們需要投擲100/x-1次；確定了臨界段之后要確定臨界層，我們需要再投擲x-1次。因此，問題就成了求函數f(x)=(100/x-1)+(x-1)的最小值問題。先對f(x)求導，f’(x)=1-100/x²，令f’(x)=0求出駐點x=10(x=-10舍去)。由於f(x)存在最小值且只有一個駐點，所以當x=10時f(x)取得最小值，最小值為18。這樣就解答了這個問題。（不等式就可以求了）

　　其實10這個結果也很容易直接看出來。在只有一個棋子時，我們相當於把整個大廈分成了一段，這一段有100層。在有兩個棋子時，我們有很多分法，但無論怎么分，如果分成k₁段，每段有k₂層，那么就有k₁k₂=100。在最壞的情況下，我們需要投擲(k₁-1)+(k₂-1)次。因此問題也可以表述成在k₁k₂=100的條件約束下，如何讓函數f(k₁,k₂)= k₁+k₂最小。在初等數學中，我們知道在矩形面積一定的情況下，正方形的周長最小。利用這個結論，我們可以直接得出結論k₁=k₂=10。

　　現在問題已經完滿解決，但我還想把這個問題擴展一下，把它變成“m層樓n個棋子”的情況。首先來看這樣一個問題，給定m層樓，多少個棋子就“足夠”了，也就是說，再多的棋子也不能加快查找的過程。在我所能想到的方法里，二分法應該是最優的，如果按二分法來查找，則需要ceiling(log₂m)個棋子（ceiling是向上取整函數），超過這個數再多的棋子也無益。

　　如果n>=ceiling(log₂m)，那就采用二分法，現在考慮n< ceiling(log₂m)的情況。前面已經看到，當n=2時，問題可以表述成在k₁k₂=100的條件約束下，求函數f(k₁,k₂)= k₁+k₂的最小值。類似地，在n個棋子的情況下，問題可以表述成在k₁k₂…k_n=m的條件約束下，求函數f(k₁,k₂,…,k_n)=k₁+k₂+…+k_n的最小值。利用拉格朗日乘數法，我們可以很容易地求出：當k₁=k₂=…=k_n=ⁿ√m時，這個多元函數取得最值。ⁿ√m有可能不是整數，因此這只是一個理論上的結果。

　　我們換一個思路考慮，m層樓n個棋子的問題其實就是如何將m分解成n個因子相乘，從而讓各個因子之和最小。如何分解m使得策略最優就成了問題的關鍵。前面得出的結論提示我們盡量讓各個因子相等或者相差較小，它們相加的結果才會較小。比如，100層樓3個棋子的情況，5，5，4應該是一個最優的選擇。

　　考慮到這里，又有一個問題出現了：是不是將m分解的越多越好呢？比如，將100分解成10，10好呢，還是2，5，10好？這個問題其實就是在問，兩個大於1的整數，它們的和大呢還是積大。很明顯，當然是積大，因此將m分解的越多越好。

　　數論告訴我們，質數是整數的基礎，所有整數都可以分解成若干個質數的乘積。因此，如果將上面的方法發揮到極致，那就要求我們把m分解成質數的乘積。當然，如果棋子足夠多，這並不是最優的方法，對質數層樓的段，你仍然可以采用二分法。

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　　上文貼出之后，我又在CSDN和ChinaUnix的論壇看了一些網友的解法，發現上述方法並非最優。將大樓分段以縮小查找范圍的想法是沒錯的，問題在於是否應該均勻分段。

　　題目要求我們總的投擲次數要最少。在分段之后，總的投擲次數就等於確定臨近段的次數加上確定臨界層的次數。如果我們均勻分段，則確定臨界層的最壞投擲數是固 定的（9次），隨着我們確定臨近段的投擲次數增加，總的投擲次數也在增加。這樣一來，隨着臨界段的不同，投擲次數也不同。

　　這也就是為什么上述方法不是最優的原因：投擲次數分布不均。按最壞情況估計，這種方法就多做了幾次。為了使最壞情況的投擲數最小，我們希望無論臨界段在哪里，總的投擲數都不變，也就是說將投擲數均勻分布。

　　接下來的解決方案就很容易想出了：既然第一步（確定臨界段）的投擲數增加不可避免，我們就讓第二步（確定臨界層）的投擲數隨着第一步的次數增加而減少。第一步的投擲數是一次一次增加的，那就讓第二步的投擲數一次一次減少。假設第一次投擲的層數是f，轉化成數學模型，就是要求f+(f-1)+...+2+1>=99，即f(f+1)/2>=99，解出結果等於14。

　　這種方法要推廣到n（n>2）個棋子的情況比較困難。我初步的想法是，先用均勻分段求出一個解，然后修正這個解使投擲次數均勻分布。如果你對此有興趣，不妨思考一下具體的解法。

版本二：

　　如果是兩個玻璃球，最少次數m確定樓高為N的哪一層開始能使這個玻璃球摔碎這個問題，等價於求最小的m，使得 1+2+...+m >= N 。
假設N正好等於1+2+...+m，那么我覺得最有的策略就是第一個玻璃球扔在第m層，如果碎了，顯然需要剩下的m-1層從底往上一一嘗試，最壞情況就是m；假設m處沒有碎，問題等價於樓高N'=1+2+...+(m-1)的地方同樣的問題需要的次數m'+1 （1就是第一次在m層的嘗試），根據我們的遞歸，容易得到N'對應需要的次數正好是m-1次，因此總次數也是m。
　　我們的二分應該傾向於不管失敗還是成功，兩種情況的總檢測次數相等。因此這應該是最優的算法。
　　當然，當N不能表示成1+2+...+m使，我們只能找最小的m作為需要測試的次數。
　　至於100層樓，顯然m=14，我們的第一次扔球應該分別在第14, 如果沒碎繼續在14+13=27，再沒有碎則扔在第27＋12＝39層，以此類推。最壞需要14次判斷。

版本三：

題目的意思應該是
找出一個固定的方案A, 使得對於目標t為任意[1,100]里的數的時候, 找出t要扔的最多的次數 最小
因為t不同的時候, 方案A要扔的次數不一定一樣, 我們就是要使得這個最多的次數最小
動態規划就好了

F(l,r,k)為 確定目標t是否在[l,r]中且手上有k個棋子的最少扔子次數, 有狀態轉移方程:
             /      (r-l+1)             (k = 1)
F(l,r,k) =   |      1                   (l = r)
             |      0                   (l > r)
             \      1+min{max{F(l,mid-1,k-1),F(mid+1,r,k)}}    (l<=mid<=r)

寫了程序算了一下，是14

#include "stdio.h"
#include "string.h"

const int INF = 200000000;
const int maxN = 110;

int f[maxN][maxN][maxN];
int n, k;

int
find(int l, int r, int k)
{
        if (l > r)
        {
                return 0;
        }
        if (k == 1)
        {
                return r - l + 1;
        }
        if (l == r)
        {
                return 1;
        }
        if (f[l][r][k] != -1)
        {
                return f[l][r][k];
        }
        int mid;
        int left, right, t;
        f[l][r][k] = INF;
        for (mid = l; mid <= r; ++mid)
        {
                left = find(l, mid - 1, k - 1);
                right = find(mid + 1, r, k);
                t = left > right ? left : right;
                f[l][r][k] <?= t;
        }
        return ++f[l][r][k];
}

int
main()
{
        memset(f, -1, sizeof(f));
        while (scanf("%d %d", &n, &k) == 2)
        {
                printf("%d\n", find(1, n, k));
        }
        return 0;
}