關系數據庫設計理論（4） 關系模式的分解

一、關系模式的分解

      1、把一個關系模式分解成若干個關系模式的過程，稱為關系模式的分解。

      2、定義

             關系模式R<U,F>的分解是指R為它的一組子集
          ρ={R₁<U₁,F₁>, R₂<U₂,F₂>,…, R_k<U_k,F_k>}所代替的過程。
          其中U=U₁∪U₂∪...∪_k ,並且沒有U_i≤U_j(表U_i包含於U_j，1≤i,j≤k),
          F_i是F在U_i上的投影，即F_i={X→Y∈F⁺∧XY≤U_i}(表XY包含於U_i）。

      例4.4.1：
          將R=(ABCD,{A→B,B→C,B→D,C→A})分解為
          關於U₁=AB，U₂=ACD兩個關系,求R₁,R₂。

      解：
          R₁=(AB,{A→B,B→A})
          R₂=(ACD,{A→C,C→A,A→D})

      3、關系模式分解必須遵守兩個准則
       (1)無損聯接性：信息不失真（不增減信息）。
       (2)函數依賴保持性：不破壞屬性間存在的依賴關系。

 

  二、分解的無損聯接性

      1、定義

              設F是關系模式R的函數依賴集
ρ={R ₁<U ₁,F ₁>, R ₂<U ₂,F ₂>,…,R _k<U _k,F _k>}          是R的一個分解，


             如果R的滿足F的任一個關系r均有：r=m_ρ(r)，
         則稱分解ρ具有無損聯接性。

      2、引理
             設ρ={R₁<U₁,F₁>, R₂<U₂,F₂>,…，R_k<U_k,F_k>}
         為關系模式R的一個分解，r為R的任一個關系，r_i=π_Ui(r),
             則：
         ① r≤m_ρ(r)(表r包含於m_ρ(r))
         ② 如果s=m_ρ(r) ,則π_Ui(s)=r_i
         ③ mρ(m_ρ(r))=m_ρ(r)

             證：
         ①設t為關系r的任一元組，t_i=t[u_i]∈r_i(i=1,2,…,k),
           根據自然連接的定義，t₁,t₂,…,t_i∈π_Ui(r)，即t∈m_ρ(r)，
           所以有r≤m_ρ(r)(表包含於m_ρ(r))。
         ②、③的證明參看P121。

             結論：分解后的關系做自然聯接必包含分解前的關系，
         即分解不會丟失信息，但可能增加信息，
         只有r=m_ρ(r)時，分解才具有無損聯接性。

      例4.4.2：設_ρ(r)，由此可得到什么結論？
      解：

           結論：分解不具有無損聯接性。

      3、為什么要進行關系分解
             一個關系模式分解后，可以存放原來所不能存放的信息，
         通常稱為“懸掛”的元組，這是實際所需要的，正是分解的優點。
         在做自然聯接時，這類懸掛元組自然丟失了，
         但不是信息的丟失，而是合理的。

        

              

      4、檢驗分解無損聯接性的算法
             設有關系模式R(A₁,A₂,…,A_n), F為它的函數依賴集，
         ρ={R₁,R₂,…,R_k}為R的一個分解。

         算法：

          (1)構造初始表：
                 構造一個k行n列的初始表，其中每列對應於R的一個屬性，
             每行用於表示分解后的一個模式組成。
             如果屬性A_j屬於關系模式R_i, 則在表的第一i行第j列置符號a_j，
             否則置符號b_ij 。

          (2)根據F中的函數依賴修改表內容：
                 考察F中的每個函數依賴X→Y,在屬性組X所在的那些列上
             尋找具有相同符號的行，如果找到這樣的兩行或更多的行，
             則修改這些行，則使這些行上屬性組Y所在的列上元素相同。
                 修改規則是：如果y所在的要修改的行中有一個為a_j，
             則這些元素均變成a_j；否則改動為b_mj（其中m為這些行的最小行號）。

          注意：若某個b_ij被改動，則該列中凡是與b_ij相同的符號均做相同的改動。
                循環地對F中的函數依賴進行逐個處理，直到發現表中有一行
                變為a₁,a₂,…a_n或不能再被修改為止。

          (3)判斷分解是否為無損聯接：
                 如果通過修改，發現表中有一行變為a₁,a₂,…a_n, 
             則分解是無損聯接的，否則分解不具有無損聯接性。

        算法實現：
            輸入：關系R上的屬性集U={A₁,A₂,…,A_k} , R上的函數依賴集F, 
                  R的分解ρ={R₁,R₂,…,R_k}。
            輸出：如果ρ為無損分解則為真，否則為假。

        Lossless(R,F,ρ)
          { 構造初始表Rρ
                       change=真；
             while (change)
              { for (F中的每個函數依賴X→Y)
                 { if(Rρ中t_i1[X]=t_i2[X]=…=t_im[X]）
                     {將t_i1[Y],t_i2[Y]=,…,t_im[Y]改為相同}
                   if (Rρ中有一行為a₁,a₂,…a_n）
                     {return 真；}
                  }
                 if (修改后的表Rρ=修改前的表Rρ ）
                    {chang=假；}
               }
             if (Rρ中有一行為a₁,a₂,…a_n）{return 真；}
             else {return 假；}
           }

      例4.4.3：關系模式R(SAIP),F={S→A,SI→P},ρ={R₁(SA),R₂(SIP)}，
           檢驗分解是否為無損聯接。

    

           通過修改發現表中第二行元素變為a₁,a₂,…,a_n,分解是無損聯接。

      例4.4.4：已知關系模式R(ABCDE)及函數依賴集F={A→C,B→C,C→D,DE→C,CE→A}
           驗證分解ρ={R₁(AD),R₂(AB),R₃(BE),R₄(CDE),R₅(AE)}是否為無損聯接。

       

       

         

           通過修改發現表中第三行元素變為a₁,a₂,…,a_n,分解是無損聯接。

      練習4.4.1：
           已知關系模式R(U,F) ,
           U={SNO,CNO,GRADE,TNAME,TAGE,OFFICE}，
           F={(SNO,CNO)→GRADE,CNO→TNAME,TNAME→(TAGE,OFFICE)}，
           以及R上的兩個分解 ρ₁={SC,CT,TO}, ρ₂={SC,GTO}，
           其中SC={SNO,CNO,GRADE},CT={CNO,TNAME},TO={TNAME,TAGE,OFFICE}，
           GTO={GRADE,TNAME,TAGE,OFFICE}。
           試檢驗ρ₁,ρ₂的無損聯接性。

      答案： ρ₁是無損分解，ρ₂不是無損分解。

      5、定理4.4.1
             檢驗分解無損聯接性的算法，能夠正確判定一個分解
         是否具有無損聯接性。(證明：參看課本P124)

      6、定理4.4.2
             設ρ={R₁, R₂}是關系模式R的一個分解，F是R的函數依賴集，
         那么ρ是R（關於F）的無損分解的充分必要條件是：
         (R₁∩R₂)→R₁-R₂∈F⁺ 或 (R₁∩R₂)→R₂-R₁∈F⁺
         (證明：參看課本P124)

      例4.4.5：關系模式R(SAIP),F={S→A,SI→P},ρ={R₁(SA),R₂(SIP)}
          檢驗分解是否為無損聯接？

      解：R₁∩R₂=SA∩SIP=S R₁-R₂=SA-SIP=A,S→A∈F,所以ρ是無損分解。

      7、定理4.4.3(逐步分解定理——關系模式可以逐步進行分解）
         設F是關系模式R的函數依賴集，ρ={R₁,R₂,…,R_k}是R關於F的一個無損聯接。

         分解：

      (1)若σ={S₁,S₂,…,S_m}是R_i關於F_i的一個無損聯接分解，則
         ε={R₁,…,R_i-1,S₁,S₂,…,S_m,R_i+1,…,R_k}是R關於F的無損聯接分解。
         其中F_i=π_Ri(F)。

      (2)設τ={R₁,…,R_k,R_k+1,…,R_n}是R的一個分解，其中τ≥ρ（表τ包含ρ） ，
         則τ也是R關於F的無損聯接分解。

　

有關系模式R(A,B,C), ρ={R₁,R₂}為它的一個分解，
          其中R₁=AB,R₂=BC,r為R的一個關系，r₁=π_R1(r),r₂=π_R2(r),
          求r₁，r₂，m

  三、分解的函數依賴保持性

      1、定義
             設F是關系模式R的函數依賴集，
         ρ={R₁<U₁,F₁>, R₂<U₂,F₂>,…, R_k<U_k,F_k>}為R的一個分解，
         如果F_i=πR_i(F)的並集(F₁∪F₂∪…∪F_k)≡F（i=1,2,…,k）
         則稱分解ρ具有函數依賴保持性。

      2、例題與練習

      例4.4.6：將R=(ABCD,{A→B,B→C,B→D,C→A})分解為
          關於U₁=AB，U₂=ACD兩個關系，求R₁、R₂，
          並檢驗分解的無損聯接性和分解的函數依賴保持性。

      解：F₁=πR₁(F)={A→B,B→A},
          F₂=πR₂(F)={A→C,C→A,A→D}
          R₁=(AB,{A→B,B→A})
          R₂=(ACD,{A→C,C→A,A→D})
          U₁∩U₂=AB∩ACD=A,
          U₁-U₂=AB-ACD=B,A→B∈F,
          所以ρ是無損分解；
          F₁UF₂={A→B,B→A,A→C,C→A,A→D}≡{A→B,B→C,B→D,C→A}=F
          所以ρ是函數依賴保持性。

      例4.4.7：關系模式R(A,B,C,D) 函數依賴集F={A→B,C→D},ρ={R₁(AB)，R₂(CD)}
          求R₁,R₂ ,並檢驗分解的無損聯接性和分解的函數依賴保持性。

      解：F₁=π_R1(F)={A→B},
          F₂=π_R2(F)={C→D}
          R₁(AB,{A→B}),
          R₂(Cd,{C→D})
          U₁∩U₂=AB∩CD=Φ,
          U₁-U₂=AB,
          U₂-U₁=CD,
          Φ→ABF,
          Φ→CDF,
          所以ρ不是無損分解。

      練習4.4.2：已知關系模式R(CITY,ST,ZIP), F={(CITY,ST)→ZIP,ZIP→CITY}
            以及R上的一個分解ρ={R₁, R₂}, R₁ ={ST,ZIP}, R₂ ={CITY,ZIP}
            求R₁,R₂ ,並檢驗分解的無損聯接性和分解的函數依賴保持性。

      答案：R₁=({ST,ZIP},{Φ}) R₂=(CITY,ZIP,{ZIP→CITY})
           ρ是無損分解,但不具有函數依賴保持性。