RMQ（range minimum/maximum query）即查詢區間最大最小值。

對於求區間最大最小值，我們自然而然就想到了一個O（n）時間復雜度的算法，但是如果詢問有很多呢？這樣必然超時。當然我們可以用線段樹來解，使得每一次查詢的時間降到log(n)，但是對於RMQ算法，只要我們做了些預處理，之后的查詢我們僅需要O(1)的時間。Sparse_Table算法是解決RMQ問題的一類較好的算法，屬於一種在線算法，至於什么叫在線什么叫離線，先簡單介紹一下。

在線算法：在計算機科學中，一個在線算法是指它可以以序列化的方式一個個的處理輸入，也就是說在開始時並不需要已經知道所有的輸入。

離線算法：在開始時就需要知道問題的所有輸入數據，而且在解決一個問題后就要立即輸出結果。例如，選擇排序在排序前就需要知道所有待排序元素，然而插入排序就不必了。

簡單的概括一下 在線算法就是說程序先把預處理工作做好，對於之后的查詢，可以很快給你答復。離線算法就是你先把需求告訴程序，他一次性給你解決。

好了，下面來講解Sparse_Table算法

1.求最值數組

Sparse_Table算法的預處理就是一個動態規划的思想。

設數組maxn[i][j] 表示給定的數組從下標i開始，長度為2^j的區間最大值(最小值一樣)也就是arr[i]----arr[i+2^j-1]這個區間的最大值。

於是我們可以寫出這樣一個動態轉移方程maxn[i][j] = max(maxn[ i ][ j-1 ],maxn[ i+2^(j-1) ][ j-1 ]) 看懂了么？

其實就是把區間【i ，i+2^j -1】分成兩段，一段是【i，i+2^(j-1)-1】 和【i+2^(j-1)，i+2^j】(一直記住二維數組后面一維表示的是區間的長度2^j)

那么對於maxn[i][j]當j等於0，也就是區間長度為1的最大值顯然就有maxn[i][0] = arr[i];

到此我們就可以寫出Sparse_Table的預處理部分了

 

void getbestarr(int n)//n為給定的數組的長度
{
     int tem = (int)floor(log2((double)n));//因為區間的最長長度是2^tem==n嘛
   for(int i=1;i<=n;i++)
        minn[i][0]= maxn[i][0] = arr[i];
    for(int j=1;j<=tem;j++) //下標從1開始
     for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
    {
         maxn[i][j] = max(maxn[i][j-1],maxn[i+(1<<(j-1))][j-1]);  //最大值
         minn[i][j] = min(minn[i][j-1],minn[i+(1<<(j-1))][j-1]);  //最小值
    }
}

我們看看這個動態規划方程是怎么求解這個maxn,minn數組的

要求區間長度為2的肯定要先求出區間長度為1的嘛  比如區間[1,2]只要在區間[1,1]   [2,2]中取最值嘛 長度為4的肯定要先算出長度為2的嘛 比如求區間[6,9]的最值只要在區間[6,7] [8,9]中取最值嘛。。。。。。

所以最外層的循環就肯定是區間的長度2^j次方咯 里面的循環應該都看得懂吧。

2.查詢

這個最值區間的數組求出來了，下面就是查詢了 

比如要查詢區間[a,b]的最值  怎么求呢？

注意到我們的最值數組存的都是區間長度為2^k(k=0,1,2,3.....)次方的最值

所以對於區間[a,b] 我們肯定要划分為兩個區間長度是2^x  2^y的區間才可以直接利用我們得到的最值數組來求最值嘛

這里有兩個未知數不好求，我們可以直接取k，對於k滿足a+2^k-1=b  k=log2(b-a+1) (注意這里不是a+2^k=b 還是那句話，始終記得2^k是區間的元素的個數) 那么區間a,b的最大值不就是max(maxn[a][k],maxn[b-2^k+1][k])比如對於區間長度為4的[3,6]求出k==2 於是最大值就是區間max（【3,6】，【3,6】）當然我們不能能保證log2(a-b+1)就一定能得到一個整數，但是這不要緊，比如對於區間長度為 5的【3,7】我們對log2(7-3+1)取整得到2，於是最大值就在

max(【3,6】，【4,7】），max函數里面前面那個maxn[a][k]就保證了我們的求最值的區間以a開始，后面那個maxn[b-2^k+1][k]就保證了我們必然能夠以b為尾

 

int query(int a,int b,bool getwhat)//getwhat表示你是想取最大還是最小
{
   int k = log2(b-a+1);
   if(getwhat)
   return max(maxn[a][k],maxn[b-(1<<k)+1][k]);
   else
     return min(minn[a][k],minn[b-(1<<k)+1][k]);
}