計算階乘n!末尾0的個數

一、問題描述

　　給定一個正整數n，請計算n的階乘n！末尾所含有“0”的個數。例如：

• 5！=120，其末尾所含有的“0”的個數為1；
• 10！= 3628800，其末尾所含有的“0”的個數為2；
• 20！= 2432902008176640000，其末尾所含有的“0”的個數為4。

二、算法分析

　　此類問題很顯然屬於數學問題，一定要找到其中的本質規律才能得到正確的數學模型。

　　兩個大數字相乘，都可以拆分成多個質數相乘，而質數相乘結果尾數為0的，只可能是2*5。如果想到了這一點，那么就可以進一步想到：兩個數相乘尾數0的個數其實就是依賴於2和5因子的個數。又因為每兩個連續數字就會有一個因子2，個數非常充足，所以此時只需要關心5因子的個數就行了。

　　對於一個正整數n來說，怎么計算n！中5因子的個數呢？我們可以把5的倍數都挑出來，即：

　　令n! = (5*K) * (5*(K-1)) * (5*(K-2)) * ... * 5 * A，其中A就是不含5因子的數相乘結果，n = 5*K + r（0<= r <= 4）。假設f(n!)是計算階乘n!尾數0的個數，而g(n!)是計算n!中5因子的個數，那么就會有如下公式：

　　f(n!) = g(n!) = g(5^K * K! * A) = K + g(K!) = K + f(K!)，其中K=n / 5（取整數）。

　　很顯然，當0 <= n <= 4時，f(n!)=0。結合這兩個公式，就搞定了這個問題了。舉幾個例子來說：

• f(5!) = 1 + f(1!) = 1
• f(10!) = 2 + f(2!) = 2
• f(20!) = 4 + f(4!) = 4
• f(100!) = 20 + f(20!) = 20 + 4 + f(4!) = 24
• f(1000!) = 200 + f(200!) = 200 + 40 + f(40!) = 240 + 8 + f(8!) = 248 + 1 + f(1) =249

三、代碼實現

 　　使用遞歸函數來做，非常的簡單，直接套用公式即可：

#include <iostream>
using namespace std;

int GetN_1(int n)
{
    if (n < 5)
    {
        return 0;
    }
    else
    {
        return (n / 5 + GetN_1(n / 5));
    }
}

int main()
{
    cout << GetN_1(1000) << endl;　　// 輸出249

    system("pause");
    return 0;
}