1 Laplace算子的物理意義
Laplace算子的定義為梯度的散度。
在Cartesian坐標系下也可表示為：
或者，它是Hessian矩陣的跡：
以熱傳導方程為例，因為熱流與溫度的梯度成正比，那么溫度的梯度的散度就是熱量的損失率。
由此可見，Laplace算子可用於表現由於物質分布不均引起的物質輸送。
2 Laplace算子的數學意義
現在，在一維空間中簡單分析上面的式子：
也可以寫作：
把分子第一項和第二項分別按泰勒展開：
可以看出Laplace算子實際上是一個使函數取平均的算子。多維空間相似。
3 Laplace方程
若Laplace算子右邊為零，稱為Laplace方程。Laplace方程的解稱為調和函數。若右邊是一個函數，稱為泊松方程。
4 Laplace算子在圖像處理的運用
圖像處理是以像素作為基礎離散化，如下：
5 Laplacian 矩陣
是一種用於表示圖的矩陣。 它的維度是 |V|-by-|V| ( |V| 是節點的數目 )。 James Demmel提供了一種由Incidence matrix轉化為Laplacian矩陣的方法。
In(G)是一個 |V|-by-|E| 矩陣( |E| 是邊的數目 ), 設邊e=(i,j)，這一列除了第i行（為+1）和第j行(為-1)外都為零。 需要說明的是，根據這個定義，對於無向圖 e=(i,j) 和 e=(j,i) 是等價的， 看似會生成很多不同的In圖（根據每條邊不同的取向）。但是實際上可以證明，無論邊的方向怎么取，由In圖生成的L圖都是唯一的。 也就是說， e=(i,j) 和 e=(j,i) 怎么取是無關緊要的。 如何使用In圖生成L圖：
可得知Laplacian矩陣的兩個重要性質：一是為對稱陣。二是存在一個為零的特征值（秩為|V|-1）。三是一個半正定矩陣。 注意Laplace算子是負定的。
在求解含Laplacian矩陣的方程組時，常常要求為正定矩陣。觀察發現這是因為Laplacian矩陣每列相加等於零。這時只需要手動更改第一行和第一列（比如第一個元素設為1，其余設為零），破壞其結構，令秩等於|V|就可以了。
對於非正定矩陣，左乘個transpose of the matrix, 推導如下：
Ax – b = 0
最小化 ||Ax – b||^2，展開后對x求導數：
可轉化為正定方程組。
6 Laplace算子和Laplacian矩陣的關系
Laplace算子可以推廣到多維情況計算。Laplacian矩陣主要用於三維以下的圖形學計算，可以表現復雜的幾何結構。而Lapace方程使用了Laplace算子來表示Laplacian矩陣。