來源：http://blog.sina.com.cn/s/blog_670445240101nlss.html
1 背景介紹
這是一種排序方法。假設我們對N個樣方有了衡量它們之間差異即距離的數據,就可以用此方法找出一個直角坐標系(最多N-1維),使N個樣方表示成N個點,而使點間的歐氏距離的平方正好等於原來的差異數據。
由於樣方間的差異數據可以由各種方式給出，只要對一些差異進行定量描述，如甲型，乙型，丙型等，就可以求出樣方的數量坐標，實現定性到定量的轉變。
主坐標方法簡單、明確、效率很高。它與主分量分析一樣,最后找出的坐標系不僅正交, 而且第一軸、第二軸……依次按N個點在該軸上的方差大小順序排列,N個點對不同兩個軸都不相關。所以也可用較少的維數,特別是直觀的二、三維空間去排列樣方,而使信息的損失最少。
它與主分量分析不同之處在於:不是先給出N個點的坐標,去找出剛性旋轉的坐標;而是只知其間的距離要去重新建立各點的坐標。因此可以不限於度量(metrtic)的相似系數公式,Pernitec(1977)采用數量數據對於寒溫帶森林和草地進行主坐標分析,他認為非度量(non-mertic)相似系數比度量相似系數效果更佳。
2 PCoA計算步驟
1 構成差異矩陣M
2 構成離差距陣A
就求出A矩陣的元素。以后可知,它是最后求出的N個樣方點坐標矩陣的離差矩陣。這里不必證明而列出A具有的三個性質:
1， A是對稱的,即aij~aji(i,j=1,2,……,N)
2， A的行和及列和均等於0,即Ai.=A.i=0;
3， mij2=mji2=aii+ajj-2aij( i,j=1,2,……,N).
3 求出N個樣方的坐標矩陣C
因為A是NxN的對稱實矩陣,所以必存在着酉矩陣(正交矩陣)U將A變換成對角矩B,即 UAU’=B,或A=U’BU。其中B的主對角線元素為λ1, λ2,……λN，分別 是A的N個依大小排 列的特征根,而U的每一行向量是相應的特征向量。
4 排列N個樣方
根據C給出的N個樣方的坐標值,可以在s維空間中排列樣方,而不損失信息。 與主分量分析一 樣 , 可以在較低K(< s)維空間中排列樣方, 則保留的信息百分比為 :
3 參考資料：
1 PCoA作圖：http://blog.sina.com.cn/s/blog_670445240102uw6u.html