別在int與float上栽跟頭(轉)

　　int與float是我們每天編程都用的兩種類型，但是我們真的足夠了解它們嗎。昨天在博客園看到一個比較老的笑話: “昨天晚上下班回家，一民警迎面巡邏而來。突然對我大喊：站住！民警：int 類型占幾個字節？  我：4 個。  民警：你可以走了。  我：為什么問這樣的問題？　民警：深夜還在街上走，寒酸苦逼的樣子，不是小偷就是程序員。”（注：看到有朋友評論說占幾個字節跟具體的環境有關，學過C++的都知道，在C++這樣的語言中確實取決於環境，但是在Java跟C#中不管什么環境都規定是4個字節，所以后邊我們只討論4個字節的情況）

　　看完這個笑話，我腦袋立馬將float、double等類型的字節長度閃了個遍。我知道float也占4個字節，但存儲結構跟int是不一樣的，並且表示范圍也不一樣。緊接着就出現了一個疑問，到底哪些int值是float不能表示的呢？如果你回答不了這個問題，那還是好好地了解一下吧，如果我說的不夠清楚，請多查點其他的資料看一下。

　　為什么有些int是float表示不了的呢？因為int與float同樣占4個字節，float表示的范圍又比int大並且還包含很多小數，那int的每個值都能被float表示就是不可能的事情了。在平時的編程中好像也沒有感覺什么不對呀，這是為什么呢？先把這個問題留到后邊，原理說清楚了再來回答這個問題。在文章的下邊帖了一個進制轉換程序，方便大家使用。

 

一. 小數十進制與二進制的轉換

　　二進制轉換成十進制：跟整數轉換一個原理，例如二進制11.11轉換為十進制 1*2¹+1*2⁰+1*2^-1+1*2^-2=3.75。

　　十進制轉換成二進制：整數部分不用說了，跟整數的十進制轉成二進制沒有區別。小數部分采用乘2取整的方式，比如3.75整數部分對應的二進制是11。小數部分0.75，先乘以2等於1.5，取1.5的整數部分1。再用0.5（上次乘2的結果的小數部分）乘以2等於1.0，取1.0的整數部分1，現在已經沒有小數部分了，終止。0.75對應的二進制就是.11。

　　所以3.75對應的二進制是11.11。注意這里的3.75和1.11只是浮點數十進制與二進制的不同表示形式，存儲結構是一樣的，因為本來就是同一個數。內存結構又是怎么樣的呢，下邊介紹。

 

二. float的存儲結構

　　float也是占32位，第一位是符號位（sign），符號位后邊8位是指數（exponent），最后23位是尾數（mantissa）。

　　float值的二進制表示形式是：sign* mantissa* 2^exponent。注意這個表達式是對應上述存儲結構的二進制。

　　符號位，表述浮點數的正或者負，0代表正，1代表負。

　　指數位，實際也是有正負的，但是沒有單獨的符號位，在計算機的世界里，進位都是二進制的，指數表示的也是2的N次冪，8位指數表達的范圍是0到255，而對應的實際的指數是－127到128。也就是說實際的指數等於指數位表示的數值減127。這里特殊說明，－127和＋128這兩個指數數值在IEEE當中是保留的用作多種用途的，這里就不多做介紹了，有興趣的可以查閱其他資料。

　　尾數位，只代表了二進制的小數點后的部分，小數點前的那位被省略了，當指數位全部為0時省略的是0否則省略的是1，為什么呢，看個例子：

　　二進制11.11表示成指數形式是1.111*2¹，0.1111表示成指數形式是1.111*2^-1。由此可見，正常情況下二進制的指數形式是肯定有一個1的，所以存儲的時候直接省略。但是在指數位全部為0時，指數是-127，這個數字是有特殊含義的，在尾數全部為0時代表的數值是0，省略的那位是0，如果省略的是1那么0這個數字就沒法用float表示了。

　　

　　結合例子理解一下

　　那我們就看一下3.75的內存結構到底是什么樣子的。首先轉化成二進制形式11.11。轉化成二進制指數形式1.111*2¹。由此我們可以得知尾數部分是111（將1省略掉了），不足23位的后邊補0，指數部分是1+127=128，對應二進制10000000。所以存儲結構就是01000000011100000000000000000000。

　　反過來轉換一下，比如某個float的存儲結構是 01000000011100000000000000000000，符號位是正的，指數位是128，實際的指數是128-127=1，尾數是111，再加上省略的那位就是1.111。所以對應的二進制指數形式是1.111*2¹，對應的二進制是11.11，對應的十進制是3.75。

　　到這里我們就可以看出，實際上尾數決定了浮點數的精度，尾數只有23位，加上省略的那位就是24位。如果一個int類型的值小於2²⁴，那么float是完全可以表示的。如果int類型大於2²⁴就不一定能表示了。假如一個int數值的二進制表示形式是100000000000000000000000，表示成指數形式是1.00000000000000000000000*2²³，對應的float的類型，尾數位全部為0，指數位是23+127=150，這樣完全沒有問題。假如一個int數值的二進制表示形式是1000000000000000000000001，表示成指數形式是1.000000000000000000000001*2²⁴，對應的float的類型尾數位是000000000000000000000001一共24位，這樣就完全超出了float最多容納23位尾數的能力。所以就不能正確表達這個int值了。由此也可以得出不能被float准確表達的最小int值是2²⁴+1。我們再將1000000000000000000000001的值加1，變成了1000000000000000000000010，這樣變換為指數形式可以看出尾數又變為了23位，也就是說25位的二進制整數最后一位是0才能被float准確表示，每2個數就有一個不能被准確表示。如果是26位的二進制整數最后兩位都是0才可以被float准確表達，每4個數就有3個不能被准確表示，以此類推。

　　現在再來回答為什么在編程的過程中似乎沒怎么引起注意，這是因為，我們平時用的數值基本都小於2²⁴+1=16777217。

 

下邊是在網上找的一個二進制在線轉換器，方便大家使用。