例說Hausdorff距離


       給定歐氏空間中的兩點集 ,Hausdorff距離就是用來衡量這兩個點集間的距離。

  其中, 稱為雙向Hausdorff距離, 稱為從點集A到點集B的單向Hausdorff距離。相應地 稱為從點集B到點集A的單向Hausdorff距離。

       下面從一個例子來理解Hausdorff距離。

   

  上圖中,給出了A,B,C,D四條路徑,其中路徑A具體為(16-17-18-19-20),路徑B具體為(1-2-3-4-9-10)。要求Hausdorff距離 ,則需要先求出單向Hausdorff距離

  對於 ,以A中的點16為例,在路徑B中的所有點中,距離點16最近的是點1,距離為3。即 alt= 。同理由圖可得 。在它們中,值最大的為3,故

  同理可得,

  所以

  同理可求出上圖中四條路徑間的單向Hausdorff距離如下表所示:

  

 

  雙向Hausdorff距離 是單向Hausdorff距離 兩者中的較大者,顯然它度量了兩個點集間的最大不匹配程度。

  

  當A,B都是閉集的時候,Hausdorff距離滿足度量的三個定理:

  (1) ,當且僅當A=B時,

  (2)     

  (3)     

  

  若凸集A,B滿足,並記 分別為A,B邊界的點集合,則A,B的Hausdorff距離等於的Hausdorff距離。

 

  Hausdorff距離易受到突發噪聲的影響。

  

  當圖像受到噪聲污染或存在遮擋等情況時,原始的Haudorff距離容易造成誤匹配。所以,在1933年,Huttenlocher提出了部分Hausdorff距離的概念。

  簡單地說,包含q個點的集合B與集合A的部分Hausdorff距離就是選取B中的K( )個點,然后求這K個點到A集合的最小距離並排序,則排序后的第K個值就是集合B到集合A的部分單向Hausdorff距離。定義公式如下:

  相應地,部分雙向Hausdorff距離定義為:


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