給定歐氏空間中的兩點集 ,
,Hausdorff距離就是用來衡量這兩個點集間的距離。
其中, ,
。
稱為雙向Hausdorff距離,
稱為從點集A到點集B的單向Hausdorff距離。相應地
稱為從點集B到點集A的單向Hausdorff距離。
下面從一個例子來理解Hausdorff距離。
上圖中,給出了A,B,C,D四條路徑,其中路徑A具體為(16-17-18-19-20),路徑B具體為(1-2-3-4-9-10)。要求Hausdorff距離 ,則需要先求出單向Hausdorff距離
和
。
對於 ,以A中的點16為例,在路徑B中的所有點中,距離點16最近的是點1,距離為3。即
。同理由圖可得
,
,
,
。在它們中,值最大的為3,故
。
同理可得, 。
所以 。
同理可求出上圖中四條路徑間的單向Hausdorff距離如下表所示:
雙向Hausdorff距離 是單向Hausdorff距離
和
兩者中的較大者,顯然它度量了兩個點集間的最大不匹配程度。
當A,B都是閉集的時候,Hausdorff距離滿足度量的三個定理:
(1) ,當且僅當A=B時,
。
(2)
(3)
若凸集A,B滿足 且
,並記
,
分別為A,B邊界的點集合,則A,B的Hausdorff距離等於
,
的Hausdorff距離。
Hausdorff距離易受到突發噪聲的影響。
當圖像受到噪聲污染或存在遮擋等情況時,原始的Haudorff距離容易造成誤匹配。所以,在1933年,Huttenlocher提出了部分Hausdorff距離的概念。
簡單地說,包含q個點的集合B與集合A的部分Hausdorff距離就是選取B中的K( 且
)個點,然后求這K個點到A集合的最小距離並排序,則排序后的第K個值就是集合B到集合A的部分單向Hausdorff距離。定義公式如下:
相應地,部分雙向Hausdorff距離定義為: