1. 堆
堆：n個元素序列{k1,k2,...,ki,...,kn},當且僅當滿足下列關系時稱之為堆：
(ki <= k2i,ki <= k2i+1)
或者(ki >= k2i,ki >= k2i+1), (i = 1,2,3,4,...,n/2)
若將和此次序列對應的一維數組（即以一維數組作此序列的存儲結構）看成是一個完全二叉樹，則堆的含義表明，完全二叉樹中所有非終端結點的值均不大於（或不小於）其左、右孩子結點的值。由此，若序列{k1,k2,…,kn}是堆，則堆頂元素（或完全二叉樹的根）必為序列中n個元素的最小值（或最大值）。
一般用數組來表示堆，i結點的父結點下標就為(i–1)/2。它的左右子結點下標分別為2*i+1和2*i+2。如第0個結點的左右子結點下標分別為1和2。
2. 堆的插入
每次插入都是將先將新數據放在數組最后，由於從這個新數據的父結點到根結點必然為一個有序的序列，現在的任務是將這個新數據插入到這個有序序列中——這就類似於直接插入排序中將一個數據並入到有序區間中。
代碼：
/*
* 堆插入算法。(小頂堆)
* 先將num插入堆尾，易知從新數據的父結點到根結點是一個有序的序列，
* 將num插入到該有序序列當中，該過程為直接插入排序。
* 未插入前數據長度為n。
*/
int HeapInsert(int *heap, int n, int num)
{
int i, j;
heap[n] = num;//num插入堆尾
i = n;
j = (n - 1) / 2;//j指向i的父結點
//注意不要漏掉i!=0的條件。因為必須保證i有父結點j。j>=0並不能保證i!=0。
//如果沒有此條件，當i=0時，j=0,若heap[0]>num,程序就會陷入死循環。
while (j >= 0 && i != 0)
{
if (heap[j] <= num)
break;
heap[i] = heap[j];
i = j;
j = (i - 1) / 2;
}
heap[i] = num;
return 0;
}
3. 堆的刪除
堆中每次都只能刪除堆頂元素。為了便於重建堆，實際的操作是將最后一個數據的值賦給根結點，然后再從根結點開始進行一次從上向下的調整。調整時先在左右子結點中找最小的，如果父結點比這個最小的子結點還小說明不需要調整了，反之將父結點和它交換后再考慮后面的結點。相當於根結點數據的“下沉”過程。
代碼：
/*
* 堆刪除算法。(刪除堆頂元素)
* n表示未刪除前堆中數據的總數。
*/
int HeapDelete(int *heap, int n)
{
//使用堆尾元素直接覆蓋堆頂元素。
heap[0] = heap[n - 1];
//從堆頂到堆尾(此時堆中只有n-1個元素)進行堆調整。
HeapAdjust(heap, 0, n - 1);
return 0;
}
/*
* 堆調整算法。(小頂堆)
* 已知heap[top]結點的左右子樹均為堆，調整堆中元素，使以heap[top]為根結點的樹為堆。
* n為堆中元素總數。
*/
int HeapAdjust(int *heap, int top, int n)
{
int j = 2 * top + 1; //左孩子結點
int temp = heap[top];
while (j < n)
{
if (j + 1 < n&&heap[j + 1] < heap[j])
j++; //使j指向左右孩子中較小的結點。
if (heap[j] >= temp)
break;
heap[top] = heap[j];
top = j;
j = 2 * top + 1;
}
heap[top] = temp;
return 0;
}
4. 堆的建立
從無序序列建堆的過程就是一個反復調整的過程。若將此序列看成是一個完全二叉樹，則最后一個非終端結點是第(n-2)/2個結點，由此調整過程只需從該結點開始，直到堆頂元素。
代碼：
/*
* 建堆算法。
* 將無序數組array[]轉換為堆。
*/
int CreatHeap(int *array, int n)
{
int i;
//最后一個結點的編號為n-1，該結點的父節點(n-2)/2為最后一個非終端結點。
//從結點(n-2)/2到根結點，依次進行堆調整。
for (i = (n - 2) / 2; i >= 0; i--)
{
HeapAdjust(array, i, n);
}
return 0;
}
5. 堆排序
若在輸出堆頂的最小值之后，使得剩余n-1個元素的序列重建一個堆，則得到n個元素中的次小值。如此反復執行，便能得到一個有序序列，這個過程稱之為堆排序。
輸出堆頂元素之后，以堆中最后一個元素替代之，此時根結點的左右子樹均為堆，則僅需進行一次從上到下的調整即可重建一個堆。
代碼：
/*
* 堆排序算法。
* 形參heap為大頂堆時，實現的是由小到大；
* 形參heap為小頂堆時，實現的是由大到小；
*/
int HeapSort(int *heap, int n)
{
int i;
int temp;
for (i = n - 1; i > 0; i--)
{
//將堆頂元素和未排序的最后一個元素交換。
temp = heap[0];
heap[0] = heap[i];
heap[i] = temp;
//交換之后進行堆調整
HeapAdjust(heap, 0, i);
}
return 0;
}
6. 測試代碼
/*
* 堆的建立、插入、刪除和堆排序算法
*/
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>
#define TOTAL 20
int HeapInsert(int *heap, int n, int num);
int HeapDelete(int *heap, int n);
int HeapAdjust(int *heap, int top, int n);
int HeapSort(int *heap, int n);
int CreatHeap(int *array, int n);
int main()
{
int heap[TOTAL];
int num;
int i;
//先輸入一半的數據，對輸入的數組建堆。
printf("輸入Total/2個數據：\n");
for (i = 0; i < TOTAL / 2; i++)
scanf("%d", &heap[i]);
CreatHeap(heap, TOTAL / 2);
//檢驗是否建堆成功。
printf("建堆后：\n");
for (i = 0; i < TOTAL / 2; i++)
printf("%-3d", heap[i]);
putchar('\n');
//向已建好的堆中插入數據，並重組為堆。
printf("繼續輸入Total/4個數據：\n");
for (i = TOTAL / 2; i < TOTAL / 2 + TOTAL / 4; i++)
{
scanf("%d", &num);
HeapInsert(heap, i, num);
}
//檢驗是否插入成功。
printf("重組為堆之后：\n");
for (i = 0; i < TOTAL / 2 + TOTAL / 4; i++)
printf("%-3d", heap[i]);
putchar('\n');
//刪除堆頂元素Total/4次。
printf("刪除Total/4個數據：\n");
for (i = 0; i < TOTAL / 4; i++)
HeapDelete(heap, TOTAL / 2 + TOTAL / 4 - i);
//檢驗是否刪除成功。
for (i = 0; i < TOTAL / 2; i++)
printf("%-3d", heap[i]);
putchar('\n');
//向堆中插滿數據，進行堆排序。
printf("繼續輸入Total/2個數據：\n");
for (i = TOTAL / 2; i < TOTAL; i++)
{
scanf("%d", &num);
HeapInsert(heap, i, num);
}
HeapSort(heap, TOTAL);
printf("排序后：\n");
for (i = 0; i < TOTAL; i++)
printf("%-3d ", heap[i]);
putchar('\n');
return 0;
}
/*
* 堆插入算法。(小頂堆)
* 先將num插入堆尾，易知從新數據的父結點到根結點是一個有序的序列，
* 將num插入到該有序序列當中，該過程為直接插入排序。
* 未插入前數據長度為n。
*/
int HeapInsert(int *heap, int n, int num)
{
int i, j;
heap[n] = num;//num插入堆尾
i = n;
j = (n - 1) / 2;//j指向i的父結點
//注意不要漏掉i!=0的條件。因為必須保證i有父結點j。j>=0並不能保證i!=0。
//如果沒有此條件，當i=0時，j=0,若heap[0]>num,程序就會陷入死循環。
while (j >= 0 && i != 0)
{
if (heap[j] <= num)
break;
heap[i] = heap[j];
i = j;
j = (i - 1) / 2;
}
heap[i] = num;
return 0;
}
/*
* 堆刪除算法。(刪除堆頂元素)
* n表示未刪除前堆中數據的總數。
*/
int HeapDelete(int *heap, int n)
{
//使用堆尾元素直接覆蓋堆頂元素。
heap[0] = heap[n - 1];
//從堆頂到堆尾(此時堆中只有n-1個元素)進行堆調整。
HeapAdjust(heap, 0, n - 1);
return 0;
}
/*
* 堆調整算法。(小頂堆)
* 已知heap[top]結點的左右子樹均為堆，調整堆中元素，使以heap[top]為根結點的樹為堆。
* n為堆中元素總數。
*/
int HeapAdjust(int *heap, int top, int n)
{
int j = 2 * top + 1; //左孩子結點
int temp = heap[top];
while (j < n)
{
if (j + 1 < n&&heap[j + 1] < heap[j])
j++; //使j指向左右孩子中較小的結點。
if (heap[j] >= temp)
break;
heap[top] = heap[j];
top = j;
j = 2 * top + 1;
}
heap[top] = temp;
return 0;
}
/*
* 堆排序算法。
* 形參heap為大頂堆時，實現的是由小到大；
* 形參heap為小頂堆時，實現的是由大到小；
*/
int HeapSort(int *heap, int n)
{
int i;
int temp;
for (i = n - 1; i > 0; i--)
{
//將堆頂元素和未排序的最后一個元素交換。
temp = heap[0];
heap[0] = heap[i];
heap[i] = temp;
//交換之后進行堆調整
HeapAdjust(heap, 0, i);
}
return 0;
}
/*
* 建堆算法。
* 將無序數組array[]轉換為堆。
*/
int CreatHeap(int *array, int n)
{
int i;
//最后一個結點的編號為n-1，該結點的父節點(n-2)/2為最后一個非終端結點。
//從結點(n-2)/2到根結點，依次進行堆調整。
for (i = (n - 2) / 2; i >= 0; i--)
{
HeapAdjust(array, i, n);
}
return 0;
}
7. 測試結果
