最小生成樹（prim算法，Kruskal算法）c++實現

1、生成樹的概念 
連通圖G的一個子圖如果是一棵包含G的所有頂點的樹，則該子圖稱為G的生成樹。

生成樹是連通圖的極小連通子圖。所謂極小是指：若在樹中任意增加一條邊，則將出現一個回路；若去掉一條邊，將會使之變成非連通圖。 生成樹各邊的權值總和稱為生成樹的權。權最小的生成樹稱為最小生成樹。

2、最小生成樹的性質
用哲學的觀點來說，每個事物都有自己特有的性質，那么圖的最小生成樹也是不例外的。按照生成樹的定義，n 個頂點的連通網絡的生成樹有 n 個頂點、n-1 條邊。

3、構造最小生成樹，要解決以下兩個問題：
(1).盡可能選取權值小的邊，但不能構成回路（也就是環）。
(2).選取n-1條恰當的邊以連接網的 n個頂點。

求最小生成樹的算法一般都使用貪心策略，有Prim算法和Krusal算法等。

普里姆算法的基本思想：
1）清空生成樹，任取一個頂點加入生成樹；
2）在那些一個端點在生成樹里，另一個端點不在生成樹里的邊中，選取一條權最小的邊，將它和另一個端點加進生成樹；
3）重復步驟2，直到所有的頂點都進入了生成樹為止，此時的生成樹就是最小生成樹。

即:從連通網絡 N = { V, E }中的某一頂點 u0 出發，選擇與它關聯的具有最小權值的邊(u0, v)，將其頂點v加入到生成樹的頂點集合U中。以后每一步從一個頂點在U中，而另一個頂點不在U中的各條邊中選擇權值最小的邊(u, v),把它的頂點 v加入到集合U中。如此繼續下去，直到網絡中的所有頂點都加入到生成樹頂點集合U中為止。

#include<iostream>
using namespace std;
 
#define MAX 100
#define MAXCOST 0x7fffffff
 
int graph[MAX][MAX];
 
int Prim(int graph[][MAX], int n)//二維數組作為參數如何使用？
{
    int sta[MAX];//存放某一條邊的起點值
    int lowcost[MAX];//存放以i為終點的的邊的最小的權值
    int min,minid,sum=0;//min用來存放最小權值，minid用來存放權值最小的邊所對應的終點
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        lowcost[i]=graph[1][i];//初始化lowcost[i]，並把他們的初始值都看作是從節點1出發到i的權值
        sta[i]=1;//起點賦值為1
    }
    sta[1]=0;//節點1進入最小生成樹
    for(int h=2;h<=n;h++)
    {
        min=MAXCOST;//找到最小的，先來個較大值
        for(int j=2;j<=n;j++)
        {
            if(lowcost[j]<min&&lowcost[j]!=0)//如果找到權值較小的就賦值給min，並把終點j賦值給minid。
            {    min=lowcost[j]; minid=j;}
        }
        lowcost[minid]=0;//這條邊已經進入最小生成樹，所以把值置為0
        sum+=min;
        for(int s=2;s<=n;s++)
        {
            if(lowcost[s]<graph[minid][s])//如果原先的lowcost[j]的值大於以minid為起點到終點j的權值，則更新它，並把起點更新為minid
            {
                lowcost[s]=graph[minid][s];
                sta[s]=minid;
            }
        }
    }
    return sum;
               
}
int main()
{
   int m,n,x,y,cost;
   cout<<"請輸入節點數目和邊的數目："<<endl;
   cin>>m>>n;
   for(int i=1;i<=m;i++)
       for(int j=1;j<=m;j++)
           graph[i][j]=MAXCOST;

       for(int k=1;k<=n;k++)
       {
           cin>>x>>y>>cost;
           graph[x][y]=graph[y][x]=cost;
       }
      cost= Prim(graph,n);
      cout<<cost<<endl;
      return 0;
}

prim函數應當好好理解，並且要多些幾遍才能熟練掌握。

Kruskal算法的步驟：

1.對所有邊進行從小到大的排序。

2.每次選一條邊（最小的邊），如果如果形成環，就不加入(u,v)中，否則加入。那么加入的(u,v)一定是最佳的。

#include <iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
 
#define MAX 100
struct edge 
{
    int x,y;
    int w;
}e[MAX];
int fa[MAX];
int rank[MAX];
int sum;
int cmp(edge a,edge b)//排序函數
{
    if(a.w!=b.w)
        return a.w<b.w;
    else 
    {
        return a.x<b.x;
    }
}
void make_set(int x)//初始化節點
{
  fa[x]=x;
  rank[x]=0;
}
 int find(int x)//查找父節點
 {
     return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
 }


 void union_set(int x,int y,int w)//合並節點
 {
     if(rank[x]>rank[y])
     {
         rank[y]=x;
     }
     else  if(rank[x]<rank[y])
     {
         rank[x]=y;
     }
     else
     {
      rank[x]++;
      rank[y]=x;
     }
     sum+=w;//總權值加上w
 }
int main()
{
    int x,y,w;
    int m,n;//n是點,m是邊
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        cin>>x>>y>>w;
        e[i].x=x;
        e[i].y=y;
        e[i].w=w;
        make_set(x);
        make_set(y);
    }
    sort(e,e+m,cmp);
    sum=0;
    for(int  i=0;i<n;i++)
    {
        x=find(e[i].x);
        y=find(e[i].y);
        w=e[i].w;
        if(x!=y)
        {
            union_set(x,y,w);
        }
    }
    cout<<sum<<endl;
    return 0;
}