前段時間為了做編譯器，猛啃了一下編譯原理。語法分析部分用的是比較簡單上手的LL(1), 自認為LL(1)的理論部分理解得不錯，在這里寫出來跟大家share一下。
關於什么是LL(1)，就不贅述了，書上也說得很清楚，就是從左向右掃描輸入，然后產生最左推導(就是每次都把最左邊的非終結字符用產生式代替)。
(一)為什么我們需要First集合
比如有產生式 A-> + T | - P , 當我們讀到串為 +開頭的時候，我們可以很直接地判斷選擇 A-> + T 這個生成式；串為- 開頭的時候，選擇 A-> - P 這個生成式。但如果文法是類似於A →T | P 這樣的都以非終結字符開頭的呢？一眼就很難判斷的，我們就需要知道，T 是怎么展開的，如果 T -> a |b ，P->c|d , 那當串以a或b開頭的時候，我們顯然需要選擇A →T ，而當串以c或d開頭的時候，就應該選擇A->P 這個生成式了。也就是說，我們需要知道T這個分支和P這個分支，都可以用什么終結字符開頭。因此我們需要計算每個生成式的開始記號的集合，也就是First集合。
下面給出First集合的算法：
•直接收取：如果存在 T→a … (a為終止符), 把a直接放到First(T)中,很顯然A →T | P →a…|P，遇到a的時候走T這條分支
•反復推送： T→E … ，把First(E)的元素加入到First(T)中
這里舉個簡單的例子：四則運算
•exp→exp addop term | term
•addop→ +| -
•term →term mulop factor | factor
•mulop→∗|/
•factor →(exp)|<number>
把它分解后變成
(1)exp→exp addop term
(2) exp→term
(3) addop→+
(4) addop→-
(5) term→term mulop factor
(6) term→factor
(7) mulop→∗
(8) mulop→/
(9)factor→(exp)
(10) factor→<number>
最容易算的是First(addop)和First(mulop)，因為他們的分支都直接以終結字符開始。
First(mulop)={*,/}, First(addop)={+,-}
First(factor)={(，<number>}
term的分支一邊是term自己（就是說把term的First內容加到本身，不對自己產生變化），一邊是factor(把factor的first集合內容加到term的first集合中)，因此First(term)=First(factor) 同理First(exp)=First(term)
當然這個例子只是為了說明First集合的計算，本身存在左遞歸，是不能做LL1運算的。
(二)感覺First集合已經足夠了，為什么還需要Follow集合
其實Follow集合是專門為了空操作而存在的
我們可以來看這個例子：
•A→Tb | P
•T→ε | a
•P→c
我們知道First(T) = {ε , a} Frist(P) = {c},當遇到a開頭的串的時候，選擇A→Tb，遇到c開頭的串，選擇 A-> P
但其實，由於ε在First(T) 里，我們可以得到
A→Tb | P →(ε│a)b | P → (b| ab) | c
也就是說，當串以b開頭的時候，其實選擇的也是A→Tb
所以，為了特殊處理當一個非終結字符可以推出空時候的情況，我們需要知道它后面緊跟的是什么終結符合，這個終結符號也是能被這個串所直接接收的。
•定義：FOLLOW(A)是可能在某些句型中緊跟在A右邊的終結符號的集合
Follow集合的算法
S→…U…算Follow(U)
1.如果存在一個產生式 A→…UP，那么First(P)中除了ε 之外都應該放入Follow(U)中
2.如果存在一個產生式 A→…U，或者存在產生式 A→…UP,且First(P)中包含ε，則Follow(A)中的所有元素都在Follow(U)中
3.將$放入Follow(S)中，其中S是開始符號，$是輸入右端的結束標識
2的推導： S->EAT, A可以用…U代替，S->E…UT,所以A后面出現的終止符和U后面出現的終止符一樣
2和3可得出： S->…U,那么Follow(S)的元素就在Follow(U)中，所以$在Follow(U)中
還是剛才的例子：
(1)exp→exp addop term
(2) exp→term
(3) addop→+
(4) addop→-
(5) term→term mulop factor
(6) term→factor
(7) mulop→∗
(8) mulop→/
(9)factor→(exp)
(10) factor→<number>
Exp為開始符號，所以把$放入Follow(exp)中，由式(1)知First(addop)要加入Follow(exp)中，此時Follow(exp)={+,-,$},同理，Follow(addop)={(,number},由式(2)，把Follow(exp)加入到Follow(term)中……
(三) 從First，Follow到預測分析表
由First集合和Follow集合就可以得出我們需要的預測分析表了，先來感官性地認識一下：
我們可以看到表格的Y方向是所有的非終結符(也就是所有生成式的左邊部分的集合)，X方向是所有終結符。
表格的每一項表示，當我目前在N這個非終結符，遇到T這個終結符之后，應該選擇的生成式。 比如在stmt時候，如果遇到s，則選擇stmt->s這個生成式。
從開始符號出發，每遇到一個輸入，就判斷往哪邊走，最后走完為止，如果中間沒有路可以走了，就說明語法有錯。
下面來看預測分析表是怎么生成的。其實跟剛才First集合和Follow集合的思路一致。
M[N,T] 其中N為非終止符，T為終止符
算法：為每個非終結符A和產生式 A→ α重復以下兩個步驟：
1）對於First(α)中的每個記號a，都將 A→ α 添加到項目 M[ A, a ]中（即，當輸入中遇到a，選擇A→ α 這一產生式）
2）如果ε在First(α)中，對於Follow(A)中的每個元素a，(記號或者$), 都將A→ α 添加到項目 M[ A, a ]中。
就是正常的話直接看終結符，在哪個分支就往哪個分支走。但如果這個分支的First集合里有ε，那么需要看它后面的終止字符集合。
例子：
E→nE′
E′→ +nE′ | ε
First(E) = { n } First(E’)= { + , ε}
Follow(E) = Follow(E’) = {$}
| M[N,T] |
n |
+ |
$ |
| E |
E→nE′ |
|
|
| E' |
|
E′→ +nE′ |
E′→ε |
根據它來做的出棧入棧如下，比如分析 3+4=5（棧中的#只是為了計算結果，可以不理）
首先把$和開始字符E入棧，然后讀取輸入串。第一個字符是3，也就是n，M[E,n]是E→nE′，所以我們把E出棧，把n和E’入棧。從右到左入棧，即先入E’，再入n。這個時候，輸入n和棧頂n匹配，把n出棧，讀取字符串的下一個字符，即+，棧頂的E'遇到+根據表格知道應該選擇E′→ +nE′ ，把E’出棧，E’，n，+入棧，+和輸入的+匹配，出棧，頂端為E’.......依次下去，直到匹配結束。
