求n*m網格內矩形的數目

一個n*m的網格，求這個網格中矩形的數目。

比如以下2*2網格，總共有9個矩形：4個1*1的矩形，4個1*2的矩形，1個2*2的矩形

 

算法1：動態規划，假設dp[i][j]表示以第 i 行第 j 列的格子為右下角頂點的矩形數目，那么dp[i][j] = 1 + dp[i-1][j] + dp[i][j-1] – dp[i-1][j-1] , 這里的1表示i ,j 位置的格子自身構成1*1的矩形，之所以減去dp[i-1][j-1], 因為dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1] 都包含了dp[i-1][j-1]。計算時注意i = 1 和 j = 1的邊界條件。最后把所有dp[i][j]加起來就是我們所求的答案。以3*3網格舉例，為了計算方便，紅色為設置的邊界值，黑色的才是最后需要加起來的值（結果為36）

 

 

int rectNum(int row, int column)
{
    vector<vector<int> >dp(row+1, vector<int>(column+1, 1));
    int res = 0;
    dp[0][0] = 2;
    for(int i = 1; i <= row; i++)
        for(int j = 1; j <= column; j++)
        {
            dp[i][j] = 1 + dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1];
            res += dp[i][j];
        }
    return res;
}

 

算法2：我們假設網格是1行m列的，那么總的矩形數目 = m(1*1的矩形) + m-1(1*2的矩形) + m-2(1*3的矩形) +…+1(1*m的矩形) = m*(m+1)/2，同理n行1列總的矩形數目是n*(n+1)/2. 對於n*m的網格，我們可以先確定好選取的行數（即確定矩形的高），公共有n*(n+1)/2種選法，選好以后就可以壓縮成1行m列的網格來考慮了，因此總共n*(n+1)/2*m*(m+1)/2個矩形。（注意最后結果是否溢出int范圍）                 本文地址

int rectNum(int row, int column)
{
    return row*(row+1)*column*(column+1)/4;
}

 

算法2還可以這樣理解：兩個對角點就可以確定一個矩形。對於一個n*m的網格，總共有（n+1）*（m+1）個頂點，因此第一個頂點有(n+1)*(m+1)種選取方法，選取好第一個頂點后，第二個頂點就有一些限制了，它不能和第一個頂點在同一條直線上，因此第二個頂點有n*m種選取方法；因此選取兩個頂點總共有(n+1)*(m+1)*n*m種選取方法，考慮到矩形ABCD，選取AC、CA、BD、DB都表示同一個矩形，即這些選取方法中，包含的每個矩形都重復了四次，因此總共有(n+1)*(m+1)*n*m/4個矩形。

 

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