本章是弗洛伊德算法的C++實現。
目錄
1. 弗洛伊德算法介紹
2. 弗洛伊德算法圖解
3. 弗洛伊德算法的代碼說明
4. 弗洛伊德算法的源碼轉載請注明出處：http://www.cnblogs.com/skywang12345/
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弗洛伊德算法介紹
和Dijkstra算法一樣，弗洛伊德(Floyd)算法也是一種用於尋找給定的加權圖中頂點間最短路徑的算法。該算法名稱以創始人之一、1978年圖靈獎獲得者、斯坦福大學計算機科學系教授羅伯特·弗洛伊德命名。
基本思想
通過Floyd計算圖G=(V,E)中各個頂點的最短路徑時，需要引入一個矩陣S，矩陣S中的元素a[i][j]表示頂點i(第i個頂點)到頂點j(第j個頂點)的距離。
假設圖G中頂點個數為N，則需要對矩陣S進行N次更新。初始時，矩陣S中頂點a[i][j]的距離為頂點i到頂點j的權值；如果i和j不相鄰，則a[i][j]=∞。 接下來開始，對矩陣S進行N次更新。第1次更新時，如果"a[i][j]的距離" > "a[i][0]+a[0][j]"(a[i][0]+a[0][j]表示"i與j之間經過第1個頂點的距離")，則更新a[i][j]為"a[i][0]+a[0][j]"。 同理，第k次更新時，如果"a[i][j]的距離" > "a[i][k]+a[k][j]"，則更新a[i][j]為"a[i][k]+a[k][j]"。更新N次之后，操作完成！
單純的看上面的理論可能比較難以理解，下面通過實例來對該算法進行說明。
弗洛伊德算法圖解
以上圖G4為例，來對弗洛伊德進行算法演示。
初始狀態：S是記錄各個頂點間最短路徑的矩陣。
第1步：初始化S。
矩陣S中頂點a[i][j]的距離為頂點i到頂點j的權值；如果i和j不相鄰，則a[i][j]=∞。實際上，就是將圖的原始矩陣復制到S中。
注:a[i][j]表示矩陣S中頂點i(第i個頂點)到頂點j(第j個頂點)的距離。
第2步：以頂點A(第1個頂點)為中介點，若a[i][j] > a[i][0]+a[0][j]，則設置a[i][j]=a[i][0]+a[0][j]。
以頂點a[1]6，上一步操作之后，a[1][6]=∞；而將A作為中介點時，(B,A)=12，(A,G)=14，因此B和G之間的距離可以更新為26。
同理，依次將頂點B,C,D,E,F,G作為中介點，並更新a[i][j]的大小。
弗洛伊德算法的代碼說明
以"鄰接矩陣"為例對弗洛伊德算法進行說明，對於"鄰接表"實現的圖在后面會給出相應的源碼。
1. 基本定義
class MatrixUDG {
#define MAX 100
#define INF (~(0x1<<31)) // 無窮大(即0X7FFFFFFF)
private:
char mVexs[MAX]; // 頂點集合
int mVexNum; // 頂點數
int mEdgNum; // 邊數
int mMatrix[MAX][MAX]; // 鄰接矩陣
public:
// 創建圖(自己輸入數據)
MatrixUDG();
// 創建圖(用已提供的矩陣)
//MatrixUDG(char vexs[], int vlen, char edges[][2], int elen);
MatrixUDG(char vexs[], int vlen, int matrix[][9]);
~MatrixUDG();
// 深度優先搜索遍歷圖
void DFS();
// 廣度優先搜索（類似於樹的層次遍歷）
void BFS();
// prim最小生成樹(從start開始生成最小生成樹)
void prim(int start);
// 克魯斯卡爾（Kruskal)最小生成樹
void kruskal();
// Dijkstra最短路徑
void dijkstra(int vs, int vexs[], int dist[]);
// Floyd最短路徑
void floyd(int path[][MAX], int dist[][MAX]);
// 打印矩陣隊列圖
void print();
private:
// 讀取一個輸入字符
char readChar();
// 返回ch在mMatrix矩陣中的位置
int getPosition(char ch);
// 返回頂點v的第一個鄰接頂點的索引，失敗則返回-1
int firstVertex(int v);
// 返回頂點v相對於w的下一個鄰接頂點的索引，失敗則返回-1
int nextVertex(int v, int w);
// 深度優先搜索遍歷圖的遞歸實現
void DFS(int i, int *visited);
// 獲取圖中的邊
EData* getEdges();
// 對邊按照權值大小進行排序(由小到大)
void sortEdges(EData* edges, int elen);
// 獲取i的終點
int getEnd(int vends[], int i);
};
Graph是鄰接矩陣對應的結構體。
vexs用於保存頂點，vexnum是頂點數，edgnum是邊數；matrix則是用於保存矩陣信息的二維數組。例如，matrix[i][j]=1，則表示"頂點i(即vexs[i])"和"頂點j(即vexs[j])"是鄰接點；matrix[i][j]=0，則表示它們不是鄰接點。
2. 弗洛伊德算法
/*
* floyd最短路徑。
* 即，統計圖中各個頂點間的最短路徑。
*
* 參數說明：
* path -- 路徑。path[i][j]=k表示，"頂點i"到"頂點j"的最短路徑會經過頂點k。
* dist -- 長度數組。即，dist[i][j]=sum表示，"頂點i"到"頂點j"的最短路徑的長度是sum。
*/
void MatrixUDG::floyd(int path[][MAX], int dist[][MAX])
{
int i,j,k;
int tmp;
// 初始化
for (i = 0; i < mVexNum; i++)
{
for (j = 0; j < mVexNum; j++)
{
dist[i][j] = mMatrix[i][j]; // "頂點i"到"頂點j"的路徑長度為"i到j的權值"。
path[i][j] = j; // "頂點i"到"頂點j"的最短路徑是經過頂點j。
}
}
// 計算最短路徑
for (k = 0; k < mVexNum; k++)
{
for (i = 0; i < mVexNum; i++)
{
for (j = 0; j < mVexNum; j++)
{
// 如果經過下標為k頂點路徑比原兩點間路徑更短，則更新dist[i][j]和path[i][j]
tmp = (dist[i][k]==INF || dist[k][j]==INF) ? INF : (dist[i][k] + dist[k][j]);
if (dist[i][j] > tmp)
{
// "i到j最短路徑"對應的值設，為更小的一個(即經過k)
dist[i][j] = tmp;
// "i到j最短路徑"對應的路徑，經過k
path[i][j] = path[i][k];
}
}
}
}
// 打印floyd最短路徑的結果
cout << "floyd: " << endl;
for (i = 0; i < mVexNum; i++)
{
for (j = 0; j < mVexNum; j++)
cout << setw(2) << dist[i][j] << " ";
cout << endl;
}
}
弗洛伊德算法的源碼
這里分別給出"鄰接矩陣圖"和"鄰接表圖"的弗洛伊德算法源碼。