ACM_數論_階乘N！的末尾有幾個零 和 末尾有多少個 1 nyoj 954

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首先階乘的一個常識要知道就是25！的末尾6位全是0；

前言:

《編程之美》這本書，愛不釋手！

問題描述:

1. 給定一個整數N,那么N的階乘N！末尾有多少個0呢?例如:N=10，N!=362800，N!的末尾有兩個0;
2. 求N!的二進制表示中最低位1的位置。

問題1的求解：

分析：

解法一：

       首先，最直接的算法當然是直接求出來N！然后看末尾有幾個0就行了。但這里存在兩個問題：

     （1）不管使用long或者double一定會產生溢出。

     （2）效率低下。

      對於問題（1），我們可以采用字符串存儲的辦法解決，但問題（2）是由本身算法決定的，所以只能采用其他的算法。

那 到底有沒有更好的算法呢？我們來分析，N！能產生0的質數組合只能是2 * 5，也就是說當對N!進行質數分解之后，N!末尾0的個位M取決於2的個數X和5的個數Y的最小值，即M = min（X,Y）。又因為能被2整除的數出現的頻率比能被5整除的數高得多，且出現一個5的時,最少會同時出現一個2，所以M = Y。即得出Y的值就可以得到N!末尾0的個數。

計算Y，最直接的方法，就是計算機1…N的因式分解中5的個數，然后求和。

 代碼如下：

 

static long GetZeroNum(long n)
{
    long num = 0;
    int i,j;
    for(i=1; i<=n; i++)
    {
        j=i;
        while(j % 5 == 0)
        {
            num++;
            j/=5;
        }
    }
    return num;
}

 

解法二：

      那 么還有沒有更簡單點的方法呢？我們想，Y還能怎么樣得到？舉個例子 25的階乘中，總共有6個五，其中5,10,15,20，各貢獻一個，25貢獻兩個，也可以說成，5,10,15,20，25各貢獻一個，25又額外貢獻 一個，即5的倍數各貢獻一個5,25的倍數各貢獻一個5,即Y=[25/5] + [25/25]。同理，125中，5的倍數各貢獻一個5,25的倍數各貢獻一個5,125的倍數也各貢獻一個5，所以Y=[125/5] + [125/25] + [125/125],所以可得公式：

Y = [N/5] + [N/5²] + [N/5³] + …

代碼如下：

 

static long GetZeroNum(long n)
{
    long num = 0;
        while(n != 0)
        {
            num=num+n/5;
            n=n/5;
        }
    return num;
}

 

問題2的求解：

分析：

     首先我們來分析一個二進制數乘以2和除以2的過程和結果是怎么樣。

     一個二進制數乘以2就是把將此二進制數向左移一位，末位補零。除以2時，則要判斷末位是否為0，若為0，向右移一位，若不能為0，則不能被2整除。

     所以，其實本問題其實是求N!含有多少個2，最低位1的位置等於N！中含有2的個數加1。

代碼如下：

//計算n的階乘的二進制中最低位1的位置，
//返回值表示倒數第幾位；
static long LowestOnew(long n)
{
    long num=0;
    while(n!=0)
    {
        num=num+n/2;
        n=n/2;
    }
    return num+1;
}