跳躍表-原理及Java實現
引言：
上周現場面試阿里巴巴研發工程師終面，被問到如何讓鏈表的元素查詢接近線性時間。筆者苦思良久，繳械投降。面試官告知回去可以看一下跳躍表，遂出此文。
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跳躍表的引入
我們知道，普通單鏈表查詢一個元素的時間復雜度為O(n)，即使該單鏈表是有序的，我們也不能通過2分的方式縮減時間復雜度。
如上圖，我們要查詢元素為55的結點，必須從頭結點，循環遍歷到最后一個節點，不算-INF(負無窮)一共查詢8次。那么用什么辦法能夠用更少的次數訪問55呢？最直觀的，當然是新開辟一條捷徑去訪問55。
如上圖，我們要查詢元素為55的結點，只需要在L2層查找4次即可。在這個結構中，查詢結點為46的元素將耗費最多的查詢次數5次。即先在L2查詢46，查詢4次后找到元素55，因為鏈表是有序的，46一定在55的左邊，所以L2層沒有元素46。然后我們退回到元素37，到它的下一層即L1層繼續搜索46。非常幸運，我們只需要再查詢1次就能找到46。這樣一共耗費5次查詢。
那么，如何才能更快的搜尋55呢？有了上面的經驗，我們就很容易想到，再開辟一條捷徑。
如上圖，我們搜索55只需要2次查找即可。這個結構中，查詢元素46仍然是最耗時的，需要查詢5次。即首先在L3層查找2次，然后在L2層查找2次，最后在L1層查找1次，共5次。很顯然，這種思想和2分非常相似，那么我們最后的結構圖就應該如下圖。
我們可以看到，最耗時的訪問46需要6次查詢。即L4訪問55，L3訪問21、55，L2訪問37、55，L1訪問46。我們直覺上認為，這樣的結構會讓查詢有序鏈表的某個元素更快。那么究竟算法復雜度是多少呢？
如果有n個元素，因為是2分，所以層數就應該是log n層 (本文所有log都是以2為底)，再加上自身的1層。以上圖為例，如果是4個元素，那么分層為L3和L4，再加上本身的L2，一共3層；如果是8個元素，那么就是3+1層。最耗時間的查詢自然是訪問所有層數，耗時logn+logn，即2logn。為什么是2倍的logn呢？我們以上圖中的46為例，查詢到46要訪問所有的分層，每個分層都要訪問2個元素，中間元素和最后一個元素。所以時間復雜度為O(logn)。
至此為止，我們引入了最理想的跳躍表，但是如果想要在上圖中插入或者刪除一個元素呢？比如我們要插入一個元素22、23、24……，自然在L1層，我們將這些元素插入在元素21后，那么L2層，L3層呢？我們是不是要考慮插入后怎樣調整連接，才能維持這個理想的跳躍表結構。我們知道，平衡二叉樹的調整是一件令人頭痛的事情，左旋右旋左右旋……一般人還真記不住，而調整一個理想的跳躍表將是一個比調整平衡二叉樹還復雜的操作。幸運的是，我們並不需要通過復雜的操作調整連接來維護這樣完美的跳躍表。有一種基於概率統計的插入算法，也能得到時間復雜度為O(logn)的查詢效率，這種跳躍表才是我們真正要實現的。
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容易實現的跳躍表
容易實現的跳躍表，它允許簡單的插入和刪除元素，並提供O(logn)的查詢時間復雜度，以下我們簡稱為跳躍表。
先討論插入，我們先看理想的跳躍表結構，L2層的元素個數是L1層元素個數的1/2，L3層的元素個數是L2層的元素個數的1/2，以此類推。從這里，我們可以想到，只要在插入時盡量保證上一層的元素個數是下一層元素的1/2，我們的跳躍表就能成為理想的跳躍表。那么怎么樣才能在插入時保證上一層元素個數是下一層元素個數的1/2呢？很簡單，拋硬幣就能解決了！假設元素X要插入跳躍表，很顯然，L1層肯定要插入X。那么L2層要不要插入X呢？我們希望上層元素個數是下層元素個數的1/2，所以我們有1/2的概率希望X插入L2層，那么拋一下硬幣吧，正面就插入，反面就不插入。那么L3到底要不要插入X呢？相對於L2層，我們還是希望1/2的概率插入，那么繼續拋硬幣吧！以此類推，元素X插入第n層的概率是(1/2)的n次。這樣，我們能在跳躍表中插入一個元素了。
在此還是以上圖為例：跳躍表的初試狀態如下圖，表中沒有一個元素：
如果我們要插入元素2，首先是在底部插入元素2，如下圖：
然后我們拋硬幣，結果是正面，那么我們要將2插入到L2層，如下圖
繼續拋硬幣，結果是反面，那么元素2的插入操作就停止了，插入后的表結構就是上圖所示。接下來，我們插入元素33，跟元素2的插入一樣，現在L1層插入33，如下圖：
然后拋硬幣，結果是反面，那么元素33的插入操作就結束了，插入后的表結構就是上圖所示。接下來，我們插入元素55，首先在L1插入55，插入后如下圖：
然后拋硬幣，結果是正面，那么L2層需要插入55，如下圖：
繼續拋硬幣，結果又是正面，那么L3層需要插入55，如下圖：
繼續拋硬幣，結果又是正面，那么要在L4插入55，結果如下圖：
繼續拋硬幣，結果是反面，那么55的插入結束，表結構就如上圖所示。
以此類推，我們插入剩余的元素。當然因為規模小，結果很可能不是一個理想的跳躍表。但是如果元素個數n的規模很大，學過概率論的同學都知道，最終的表結構肯定非常接近於理想跳躍表。
當然，這樣的分析在感性上是很直接的，但是時間復雜度的證明實在復雜，在此我就不深究了，感興趣的可以去看關於跳躍表的paper。
再討論刪除，刪除操作沒什么講的，直接刪除元素，然后調整一下刪除元素后的指針即可。跟普通的鏈表刪除操作完全一樣。
再來討論一下時間復雜度，插入和刪除的時間復雜度就是查詢元素插入位置的時間復雜度，這不難理解，所以是O(logn)。
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Java實現
在章節2中，我們采用拋硬幣的方式來決定新元素插入的最高層數，這當然不能在程序中實現。代碼中，我們采用隨機數生成的方式來獲取新元素插入的最高層數。我們先估摸一下n的規模，然后定義跳躍表的最大層數maxLevel，那么底層，也就是第0層，元素是一定要插入的，概率為1；最高層，也就是maxLevel層，元素插入的概率為1/2^maxLevel。
我們先隨機生成一個范圍為0~2^maxLevel-1的一個整數r。那么元素r小於2^(maxLevel-1)的概率為1/2，r小於2^(maxLevel-2)的概率為1/4，……，r小於2的概率為1/2^(maxLevel-1)，r小於1的概率為1/2^maxLevel。
舉例，假設maxLevel為4，那么r的范圍為0~15，則r小於8的概率為1/2，r小於4的概率為1/4，r小於2的概率為1/8，r小於1的概率為1/16。1/16正好是maxLevel層插入元素的概率，1/8正好是maxLevel層插入的概率，以此類推。
通過這樣的分析，我們可以先比較r和1，如果r<1，那么元素就要插入到maxLevel層以下；否則再比較r和2，如果r<2，那么元素就要插入到maxLevel-1層以下；再比較r和4，如果r<4，那么元素就要插入到maxLevel-2層以下……如果r>2^(maxLevel - 1)，那么元素就只要插入在底層即可。
以上分析是隨機數算法的關鍵。算法跟實現跟語言無關，但是Java程序員還是更容易看明白Java代碼實現的跳躍表，以下貼一下別人的java代碼實現。作者找不到了，就這樣吧。
1 /*************************** SkipList.java *********************/ 2 3 import java.util.Random; 4 5 public class SkipList<T extends Comparable<? super T>> { 6 private int maxLevel; 7 private SkipListNode<T>[] root; 8 private int[] powers; 9 private Random rd = new Random(); 10 SkipList() { 11 this(4); 12 } 13 SkipList(int i) { 14 maxLevel = i; 15 root = new SkipListNode[maxLevel]; 16 powers = new int[maxLevel]; 17 for (int j = 0; j < maxLevel; j++) 18 root[j] = null; 19 choosePowers(); 20 } 21 public boolean isEmpty() { 22 return root[0] == null; 23 } 24 public void choosePowers() { 25 powers[maxLevel-1] = (2 << (maxLevel-1)) - 1; // 2^maxLevel - 1 26 for (int i = maxLevel - 2, j = 0; i >= 0; i--, j++) 27 powers[i] = powers[i+1] - (2 << j); // 2^(j+1) 28 } 29 public int chooseLevel() { 30 int i, r = Math.abs(rd.nextInt()) % powers[maxLevel-1] + 1; 31 for (i = 1; i < maxLevel; i++) 32 if (r < powers[i]) 33 return i-1; // return a level < the highest level; 34 return i-1; // return the highest level; 35 } 36 // make sure (with isEmpty()) that search() is called for a nonempty list; 37 public T search(T key) { 38 int lvl; 39 SkipListNode<T> prev, curr; // find the highest nonnull 40 for (lvl = maxLevel-1; lvl >= 0 && root[lvl] == null; lvl--); // level; 41 prev = curr = root[lvl]; 42 while (true) { 43 if (key.equals(curr.key)) // success if equal; 44 return curr.key; 45 else if (key.compareTo(curr.key) < 0) { // if smaller, go down, 46 if (lvl == 0) // if possible 47 return null; 48 else if (curr == root[lvl]) // by one level 49 curr = root[--lvl]; // starting from the 50 else curr = prev.next[--lvl]; // predecessor which 51 } // can be the root; 52 else { // if greater, 53 prev = curr; // go to the next 54 if (curr.next[lvl] != null) // non-null node 55 curr = curr.next[lvl]; // on the same level 56 else { // or to a list on a lower level; 57 for (lvl--; lvl >= 0 && curr.next[lvl] == null; lvl--); 58 if (lvl >= 0) 59 curr = curr.next[lvl]; 60 else return null; 61 } 62 } 63 } 64 } 65 public void insert(T key) { 66 SkipListNode<T>[] curr = new SkipListNode[maxLevel]; 67 SkipListNode<T>[] prev = new SkipListNode[maxLevel]; 68 SkipListNode<T> newNode; 69 int lvl, i; 70 curr[maxLevel-1] = root[maxLevel-1]; 71 prev[maxLevel-1] = null; 72 for (lvl = maxLevel - 1; lvl >= 0; lvl--) { 73 while (curr[lvl] != null && curr[lvl].key.compareTo(key) < 0) { 74 prev[lvl] = curr[lvl]; // go to the next 75 curr[lvl] = curr[lvl].next[lvl]; // if smaller; 76 } 77 if (curr[lvl] != null && key.equals(curr[lvl].key)) // don't 78 return; // include duplicates; 79 if (lvl > 0) // go one level down 80 if (prev[lvl] == null) { // if not the lowest 81 curr[lvl-1] = root[lvl-1]; // level, using a link 82 prev[lvl-1] = null; // either from the root 83 } 84 else { // or from the predecessor; 85 curr[lvl-1] = prev[lvl].next[lvl-1]; 86 prev[lvl-1] = prev[lvl]; 87 } 88 } 89 lvl = chooseLevel(); // generate randomly level 90 newNode = new SkipListNode<T>(key,lvl+1); // for newNode; 91 for (i = 0; i <= lvl; i++) { // initialize next fields of 92 newNode.next[i] = curr[i]; // newNode and reset to newNode 93 if (prev[i] == null) // either fields of the root 94 root[i] = newNode; // or next fields of newNode's 95 else prev[i].next[i] = newNode; // predecessors; 96 } 97 } 98 }