波蘭式、逆波蘭式是《數據結構》課程中講解關於棧的時候提到的，棧是很簡單的一種數據結構。但是這些理論的提出卻是計算機早期發展領域的重大突破，值得仔細回味。
1. 中綴表達式
我們在數學中學到的表達式被稱為中綴表達式，操作符號在操作數中間，比如 2 + 3 * (5 - 1)。對人類而言，這種表達方式顯而易見，求值也很直接，先算乘除再算加減，先算括號內再算括號外。
然而，這個表達式對於計算機而言卻很費解。你可能會有疑問：這有什么難理解的嘛，在JavaScript、Python或者Ruby，甚至是Java里面都可以通過eval("2 + 3 * (5 - 1)")來計算這個表達式。當然，這里的計算機並不是指現而今強大的計算機和高級編程語言，而是指上個世紀中頁還處於發展初期的計算機。
2. 前綴表達式
早在1920年，波蘭科學家揚·武卡謝維奇就發明了一種不需要括號的表示法，可以用來表示一個計算表達式。即將操作符號寫在操作數之前，也就是前綴表達式，即波蘭式（Polish Notation, PN）。這種表達式直到1960年計算機出現后才發揮出其威力。
比如2 + 3 * (5 - 1)這個表達式的前綴表達式為+ 2 * 3 - 5 1來表示。
閱讀這個表達式需要從左至右讀入表達式，如果一個操作符后面跟着兩個操作數時，則計算，然后將結果作為操作數替換這個操作符和兩個操作數，重復此步驟，直至所有操作符處理完畢。從左往右依次讀取，直到遇到- 5 1，做計算后，將表達式替換為+ 2 * 3 4，然后從左往右再次讀取，直到遇到* 3 4，做計算后將表達式替換為+ 2 12，然后從左往右依次讀取，讀到+ 2 12，計算得到14，到此結束。
可以看到，這種計算過程也相當復雜，需要多次遍歷表達式，而且需要識別一個操作符后面跟着兩個操作數這種模式，相比而言，下文中的逆波蘭式要更為直接和簡單。
如果你熟悉各種編程語言的話，這很像Lisp語言中的表達式（如下代碼）。需要注意的是，Lisp語言中的括號並不是數學意義上的的括號，Lisp中的函數是可以攜帶多個參數的，比如(+ 1 2 3)，因此需要使用括號來標明函數參數。
Clojure1.5.1 user=>(+2(*3(-51)))143. 后綴表達式
后綴表達式也稱為逆波蘭式（Reverse Polish Notation, RPN），更加廣為人知一些，和前綴表達式剛好相反，是將操作符號放置於操作數之后，比如2 + 3 * (5 - 1)用逆波蘭式來表示則是：2 3 5 1 - * +。
逆波蘭式的計算也是從左往右依次讀取，當讀到操作符時，將之前的兩個操作數做計算，然后替換這兩個操作數和操作符，接着讀取，重復此步驟。對於這個表達式，讀到5 1 -，得到4，然后讀取乘號，取出前面的3和上一步的計算結果4，並計算，到12，接着讀取加號+，計算2 12 +得到14，計算結束。
上面這個步驟可以很容易的用棧來實現：
從左往右依次讀取表達式，如果是數字則將該數字壓棧，如果是符號，則將之前的兩個數字出棧，做計算后，將計算結果壓棧，直到表達式讀取結束。棧中剩下的一個數就是計算結果。
逆波蘭式看起來像波蘭式反過來，比如5 + 1的波蘭式是+ 5 1，逆波蘭式為5 1 +或者1 5 +。也很明顯，逆波蘭式並不是簡單的將波蘭式反過來，因為，減法和除法中減數和被減數、除數與被除數是不能交換的，即- 10 5和- 5 10就完全不一樣。
4. 中綴表達式到后綴表達式的轉換
因為通過后綴表達式來進行計算只需要一個棧即可，從硬件和軟件上實現都是極為便利的，因此逆波蘭式在計算機領域的應用更加廣泛，因此將中綴表達式轉換為逆波蘭式非常重要。
依然僅僅使用棧就可以將中綴表達式轉換成逆波蘭式，轉換過程如下：
從左往右遍歷中綴表達式中的每個數字和符號，弱是數字就輸出，成為逆波蘭式的一部分； 如果是右括號，或者是其他符號並且比當前棧頂符號的優先級低，則棧頂元素依次出棧並輸出； 然后將當前符號進棧，重復以上操作直到結束。
還是以2 + 3 * (5 - 1)為例：
- 首先讀入數字
2，直接將其輸出，輸出為2，棧為空 - 接着讀入加號
+，由於棧為空，因此將其進棧，輸出為2，棧為+ - 接着讀入數字
3，直接將其輸出，輸出為2 3，棧為+ - 接着讀入乘號
*，比棧頂元素優先級高，進棧，輸出為2 3，棧為+ * - 讀入左括號
(，直接進棧，輸出2 3，棧為+ * ( - 讀入數字
5，直接將其輸出，輸出為2 3 5，棧為+ * ( - 讀入減號
-，棧頂元素為左括號，進棧，輸出為2 3 5，棧為+ * ( - - 讀入數字
1，直接將其輸出，輸出為2 3 5 1，棧為+ * ( - - 讀入右括號，依次輸出棧頂元素，直到左括號，括號不輸出，輸出
2 3 5 1 -，棧為+ * - 已經無元素可讀，依次輸出棧頂元素，直到棧為空，輸出
2 3 5 1 - * +，棧為空
這樣可以僅僅使用棧，首先將中綴表達式轉換為逆波蘭式，然后用本文第3節中的方法對后綴表達式進行求值，整個過程使用棧來完成即可。
5. 表達式樹與逆波蘭式
還可以通過另外一種方法來將一個表達式轉換成波蘭式和逆波蘭式，這種方法依賴與樹，首先需要根據表達式構建成樹，仍然以2 + 3 * (5 - 1)為例，下圖是其表達式樹。
我們發現這個樹的后序遍歷結果為2 3 5 1 - * +，剛好是其逆波蘭式；而其先序遍歷結果為+ 2 * 3 - 5 1剛好為其波蘭式；中序遍歷就不用說了，就是我們常見的中綴表達式。我們也可以通過這種特性來實現表達式的各種表示方法的轉換。