算法之線性時間選擇（最壞情況下）

線性時間選擇（Linear Select）:這個名字不太好理解，什么叫線性時間選擇？一句話，在線性時間內完成選擇。一般情況下是這樣的，我們想要找出一個數組中的最大值或最小值，那就只需要一次排列，然后輸出第一個或最后一個元素就行了，但如果是要找出一個數組中的第k小的元素呢？

　　在一般情況下，可以用RandomizedSelect方法來找出第k小的元素，平均時間是O(n)，但在最壞情況下，所用的時間則是n^2，因此，本文討論的就是在最壞情況下，如何在O(n)時間內完成選擇。算法的思路總體有些復雜，但每一步其實不難，下面即給大家介紹最壞情況下的線性時間選擇算法。

（1）：將n個輸入元素以每組5個地划分，共划分出(n/5)個組，每個組分別進行排列，找出中位數，然后按照每個組的順序，把每個組的中位數與整個數組的前(n/5)個數交換；

（2）：那么，前(n/5)個數就是各組的中位數了，然后，我們通過select方法找出這些中位數的中位數，以這個中位數的中位數為基准，調用partition方法；

（3）：調用了partition方法后的基准元素正是處於數組的正確位置（前邊的元素都比基准元素小，后邊的元素都比基准元素大），記下基准元素前邊的元素個數leftNum，如果k小於或等於leftNum，則在基准位置前的這部分調用select方法即可，如果在k大於leftNum，則在基准位置后的這部分調用select方法。

下面，我直接把代碼貼出，讀者可以通過我的注釋來理解每一步的意義。

private static int select(int[] a,int l,int r,int k){
    if(r - l < 75){
        insertSort(a, l, r);    //用快速排序進行排序
        return a[l + k - 1];
    }
    int group = (r-l+5)/5;
    for(int i = 0;i<group;i++){
        int left = l+5*i;
        int right = (l + i * 5 + 4) > r ? r : l + i * 5 + 4;  //如果超出右邊界就用右邊界賦值
        int mid = (left+right)/2;
        insertSort(a, left, right);
        swap(a, l + i, mid);     // 將各組中位數與前i個 
    }
    int pivot = select(a,l,l+group-1,(group+1)/2);  //找出中位數的中位數
    int p = partition(a,l,r,pivot);    //用中位數的中位數作為基准的位置
    int leftNum = p - l;       //leftNum用來記錄基准位置的前邊的元素個數
    if (k == leftNum + 1)
        return a[p];
    else if (k <= leftNum)
        return select(a, l, p - 1, k);
    else                    //若k在基准位子的后邊，則要從基准位置的后邊數起，即第（k - leftNum - 1）個
        return select(a, p + 1, r, k - leftNum - 1);
}

到此大家也可以看出，這里的partition方法與前邊講到過的快速排序所用到的partition方法稍有不同，參數個數都變了，但其實變化只是很小，只是取消了一開始定義基准位置的步驟而已，代碼如下：

private static int partition(int[] a,int l,int r,int pivot){   //適用於線性時間選擇的partition方法
    int i = l;
    int j = r;
    while(true){
        while(a[i] <= pivot && i < r)
            ++i;   //i一直向后移動，直到出現a[i]>pivot
        while(a[j] > pivot)
            --j;   //j一直向前移動，直到出現a[j]<pivot
        if(i >= j) break;
        swap(a,i,j);
    }
    a[l] = a[j];
    a[j] = pivot;
    return j;
}

下面是select方法中，如果輸入規模小於75時用到的插入排序算法代碼：

private static void insertSort(int[] a, int law, int high) {    //插入排序
       for (int i = law + 1; i <= high; i++) {  
           int key = a[i];  
           int j = i - 1;  
           while (j >= law && a[j] > key) {  
               a[j + 1] = a[j];  
               j--;  
           }  
           a[j + 1] = key;  
       }  
}

適用於數組元素之間的swap方法如下：

private static void swap(int[] a,int i,int j){
    int temp = a[i];
    a[i] = a[j];
    a[j] = temp;
}

　　各位可能有個疑問，為什么輸入規模不足75時調用插入排序而不用線性時間選擇呢？那是因為當輸入規模不足75時，因為輸入規模太小，時間復雜度幾乎是一個常量，因此沒有必要用到比較復雜的線性時間選擇算法。

　　我還看到一個比較好懂的學習線性時間選擇的動畫，能形象地看到線性時間選擇的執行過程，鏈接如下：

http://resource.jingpinke.com/details?uuid=ff808081-22e8911b-0122-e8912643-048d&objectId=oid:ff808081-22e8911b-0122-e8912643-048e

　　如果有不足之處或者對該算法有更好的建議，請提出！