霍納法則（Horner Rule）介紹及C語言實現

參考自：http://flynoi.blog.hexun.com/31272178_d.html

霍納法則簡介

假設有n＋2個實數a₀，a₁，…，a_n,和x的序列，要對多項式P_n(x)= a_nxⁿ＋a_n－１x^n－１＋…＋a_１x＋a_０求值，直接方法是對每一項分別求值，並把每一項求的值累加起來，這種方法十分低效，它需要進行n＋(n－1)＋…＋1＝n(n＋１)/2次乘法運算和n次加法運算。有沒有更高效的算法呢?答案是肯定的。通過如下變換我們可以得到一種快得多的算法，即P_n(x)= a_nxⁿ ＋a_n－１x^n－１＋…＋a_１x＋a_０＝((…(((a_nx ＋a_n－１)x＋a_n－２)x+ a_n－3)…)x＋a₁)x＋a_０，這種求值的安排我們稱為霍納法則。

霍納法則C語言實例

/* 霍納算法實例 */

#include <stdio.h>

long int 
horner(int coefficient[], int n, int x) //coefficient[]為待求多項式的系數數組，n為數組大小，x為多項式中未知數x的具體值
{                                       //注意：coefficient[0]存放系數a0，coefficient[1]存放系數a1，以此類推…
    int i;
    long int result;
    
    result = coefficient[n-1];
    for(i = 1; i <= n-1; i++)
    {
        result = result * x + coefficient[n-1-i];
    }

    return result;
}

int 
main(void)
{
    long int p;
    int a[4] = {3, 2, 1, 1};
    p = horner(a, 4, 1);
    printf("polynomial x^3 + x^2 + 2x + 3 = %ld\n", p);
}

實例測試結果：