轉載：網絡流基礎篇——Edmond-Karp算法 BY納米黑客
網絡流的相關定義：
- 源點：有n個點，有m條有向邊，有一個點很特殊，只出不進，叫做源點。
- 匯點：另一個點也很特殊，只進不出，叫做匯點。
- 容量和流量：每條有向邊上有兩個量，容量和流量，從i到j的容量通常用c[i,j]表示,流量則通常是f[i,j].
通常可以把這些邊想象成道路，流量就是這條道路的車流量，容量就是道路可承受的最大的車流量。很顯然的，流量<=容量。而對於每個不是源點和匯點的點來說，可以類比的想象成沒有存儲功能的貨物的中轉站，所有“進入”他們的流量和等於所有從他本身“出去”的流量。
- 最大流：把源點比作工廠的話，問題就是求從工廠最大可以發出多少貨物，是不至於超過道路的容量限制，也就是，最大流。
求解思路：
首先，假如所有邊上的流量都沒有超過容量(不大於容量)，那么就把這一組流量，或者說，這個流，稱為一個可行流。
一個最簡單的例子就是，零流，即所有的流量都是0的流。
- (1).我們就從這個零流開始考慮，假如有這么一條路，這條路從源點開始一直一段一段的連到了匯點，並且，這條路上的每一段都滿足流量<容量，注意，是嚴格的<,而不是<=。
- (2).那么，我們一定能找到這條路上的每一段的(容量-流量)的值當中的最小值delta。我們把這條路上每一段的流量都加上這個delta，一定可以保證這個流依然是可行流，這是顯然的。
- (3).這樣我們就得到了一個更大的流，他的流量是之前的流量+delta，而這條路就叫做增廣路。我們不斷地從起點開始尋找增廣路，每次都對其進行增廣，直到源點和匯點不連通，也就是找不到增廣路為止。
- (4).當找不到增廣路的時候，當前的流量就是最大流，這個結論非常重要。
補充：
- (1).尋找增廣路的時候我們可以簡單的從源點開始做BFS，並不斷修改這條路上的delta 量，直到找到源點或者找不到增廣路。
- (2).在程序實現的時候，我們通常只是用一個c 數組來記錄容量，而不記錄流量，當流量+delta 的時候，我們可以通過容量-delta 來實現，以方便程序的實現。
相關問題：
為什么要增加反向邊？
在做增廣路時可能會阻塞后面的增廣路，或者說，做增廣路本來是有個順序才能找完最大流的。
但我們是任意找的，為了修正，就每次將流量加在了反向弧上，讓后面的流能夠進行自我調整。
舉例：
比如說下面這個網絡流模型
我們第一次找到了1-2-3-4這條增廣路，這條路上的delta值顯然是1。
於是我們修改后得到了下面這個流。（圖中的數字是容量）
這時候(1,2)和(3,4)邊上的流量都等於容量了，我們再也找不到其他的增廣路了，當前的流量是1。
但是，
這個答案明顯不是最大流，因為我們可以同時走1-2-4和1-3-4，這樣可以得到流量為2的流。
那么我們剛剛的算法問題在哪里呢？
問題就在於我們沒有給程序一個“后悔”的機會，應該有一個不走(2-3-4)而改走(2-4)的機制。
那么如何解決這個問題呢？
我們利用一個叫做反向邊的概念來解決這個問題。即每條邊(i,j)都有一條反向邊(j,i)，反向邊也同樣有它的容量。
我們直接來看它是如何解決的：
在第一次找到增廣路之后，在把路上每一段的容量減少delta的同時，也把每一段上的反方向的容量增加delta。
c[x,y]-=delta;c[y,x]+=delta;
我們來看剛才的例子，在找到1-2-3-4這條增廣路之后，把容量修改成如下：
這時再找增廣路的時候，就會找到1-3-2-4這條可增廣量，即delta值為1的可增廣路。將這條路增廣之后，得到了最大流2。
那么，這么做為什么會是對的呢？
事實上，當我們第二次的增廣路走3-2這條反向邊的時候，就相當於把2-3這條正向邊已經是用了的流量給“退”了回去，不走2-3這條路，而改走從2點出發的其他的路也就是2-4。
如果這里沒有2-4怎么辦？
這時假如沒有2-4這條路的話，最終這條增廣路也不會存在，因為他根本不能走到匯點
同時本來在3-4上的流量由1-3-4這條路來“接管”。而最終2-3這條路正向流量1，反向流量1，等於沒有流。
附錄：(edmonds-Karp版本)
1: void update_residual_network(int u,int flow){2: while(pre[u]!=-1){3: map[pre[u]][u]-=flow;4: map[u][pre[u]]+=flow;5: u=pre[u];6: }7: }8: int find_path_bfs(int s,int t){9: memset(visited,0,sizeof(visited));10: memset(pre,-1,sizeof(pre));11: visited[s]=1;12: int min=INF;13: queue<int> q;14: q.push(s);15:16: while(!q.empty()){17: int cur=q.front();q.pop();18: if(cur==t) break;19:20: for(int i = 1 ; i <= m ; i++ ){21: if( visited[i] == 0 && map[cur][i] != 0){22: q.push(i);23: min=(min<map[cur][i]?min:map[cur][i]) ;24: pre[i]=cur;25: visited[i]=1;26: }27: }28: }29: if(pre[t]==-1) return 0;30:31: return min;32: }33: int edmonds_karp(int s,int t){34: int new_flow=0;35: int max_flow=0;36: do{37: new_flow = find_path_bfs(s,t);38: update_residual_network(t,new_flow);39: max_flow += new_flow;40: }while( new_flow != 0 );41: return max_flow;42: }