Gabor學習筆記

本文轉載自查看原文 2014-03-19 13:59 59906 算法設計相關

本文根據博客http://blog.csdn.net/watkinsong/article/details/7870996 ，博客http://www.cnblogs.com/yingying0907/archive/2012/11/22/2781945.html整理。

1.傅里葉變換

1) 簡介

數字圖像處理的方法主要分成兩大部分：空域分析法和頻域分析法。空域分析法就是對圖像矩陣進行處理；頻域分析法是通過圖像變換將圖像從空域變換到頻域，從另外一個角度來分析圖像的特征並進行處理。頻域分析法在圖像增強、圖像復原、圖像編碼壓縮及特征編碼壓縮方面有着廣泛應用。

如果一個信號f(t)在上滿足：

① f(t)在任一有限區間上滿足狄氏條件；

② f(t)在上絕對可積即

就可以通過傅里葉變換把時域信號f(t)轉化到頻域進行處理：

然后再通過傅里葉反變換把頻域信號轉化到時域：

傅里葉變換是線性系統分析的有力工具，提供了一種把時域信號轉換到頻域進行分析的途徑，時域和頻域之間是一對一的映射關系。圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區域，對應的頻率值很低；而對於地表屬性變換劇烈的邊緣區域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區域，對應的頻率值較高。

傅立葉變換在實際中有非常明顯的物理意義，設f是一個能量有限的模擬信號，則其傅立葉變換就表示f的譜。從純粹的數學意義上看，傅立葉變換是將一個函數轉換為一系列周期函數來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉換到空間域。換句話說，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數變換為圖像的頻率分布函數，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數變換為灰度分布函數。

2) 不足之處

經典Fourier變換只能反映信號的整體特性（時域，頻域）。對傅里葉譜中的某一頻率，無法知道這個頻率是在什么時候產生的。從傅里葉變換的定義也可看出，傅里葉變換是信號在整個時域內的積分，因此反映的是信號頻率的統計特性，沒有局部化分析信號的功能。另外，要求信號滿足平穩條件。傅里葉變換時域和頻域是完全分割開來的。

l 由式可知，要用Fourier變換研究時域信號頻譜特性，必須要獲得時域中的全部信息；

l 信號在某時刻的一個小的鄰域內發生變化，那么信號的整個頻譜都要受到影響，而頻譜的變化從根本上來說無法標定發生變化的時間位置和發生變化的劇烈程度。也就是說，Fourier變換對信號的齊性不敏感。不能給出在各個局部時間范圍內部頻譜上的譜信息描述。然而在實際應用中齊性正是我們所關心的信號局部范圍內的特性。如，音樂，語言信號等。即：局部化時間分析，圖形邊緣檢，地震勘探反射波的位置等信息極重要。

l 為解決傅里葉變換的局限性，產生了Gabor變換和小波變換。

2.Gabor變換

Gabor變換是D.Gabor 1946年提出的。為了由信號的Fourier變換提取局部信息，引入了時間局部化的窗函數，得到了窗口Fourier變換。由於窗口Fourier變換只依賴於部分時間的信號，所以，現在窗口Fourier變換又稱為短時Fourier變換，這個變換又稱為Gabor變換。

1) Gabor優點

Gabor小波與人類視覺系統中簡單細胞的視覺刺激響應非常相似。它在提取目標的局部空間和頻率域信息方面具有良好的特性。雖然Gabor小波本身並不能構成正交基，但在特定參數下可構成緊框架。Gabor小波對於圖像的邊緣敏感，能夠提供良好的方向選擇和尺度選擇特性，而且對於光照變化不敏感,能夠提供對光照變化良好的適應性。上述特點使Gabor小波被廣泛應用於視覺信息理解。

Gabor濾波器和脊椎動物視覺皮層感受野響應的比較：第一行代表脊椎動物的視覺皮層感受野，第二行是Gabor濾波器，第三行是兩者的殘差。可見兩者相差極小。Gabor濾波器的這一性質，使得其在視覺領域中經常被用來作圖像的預處理。

2) Gabor定義

① 具體窗函數――Gaussaion的 Gabor變換定義式

Gabor變換的基本思想：把信號划分成許多小的時間間隔，用傅里葉變換分析每一個時間間隔，以便確定信號在該時間間隔存在的頻率。其處理方法是對f(t)加一個滑動窗，再作傅里葉變換。

設函數f為具體的函數，且，則Gabor變換定義為

其中，，是高斯函數，稱為窗函數。其中a>0,b>0.

是一個時間局部化的“窗函數”。其中，參數b用於平行移動窗口，以便於覆蓋整個時域。對參數b積分，則有

信號的重構表達式為

Gabor取g(t)為一個高斯函數有兩個原因：一是高斯函數的Fourier變換仍為高斯函數，這使得Fourier逆變換也是用窗函數局部化，同時體現了頻域的局部化；二是Gabor變換是最優的窗口Fourier變換。其意義在於Gabor變換出現之后，才有了真正意義上的時間－頻率分析。即Gabor變換可以達到時頻局部化的目的：它能夠在整體上提供信號的全部信息而又能提供在任一局部時間內信號變化劇烈程度的信息。簡言之，可以同時提供時域和頻域局部化的信息。

② 窗口的寬高關系

經理論推導可以得出：高斯窗函數條件下的窗口寬度與高度，且積為一固定值。

矩形時間――頻率窗：寬為，高。

由此，可以看出Gabor變換的局限性：時間頻率的寬度對所有頻率是固定不變的。實際要求是：窗口的大小應隨頻率而變化，頻率高窗口應愈小，這才符合實際問題中的高頻信號的分辨率應比低頻信號的分辨率要低。

3) 離散Gabor變換的一般求法

① 首先選取核函數

可根據實際需要選取適當的核函數。如，如高斯窗函數；

則其對偶函數為

② 離散Gabor變換的表達式

其中，

是的對偶函數，二者之間有如下雙正交關系。

4) Gabor變換的解析理論

Gabor變換的解析理論就是由g(t)求對偶函數的方法。

定義g(t)的Zak變換為

可以證明對偶函數可由下式求出：

有了對偶函數可以使計算更為簡潔方便。

5) 適用條件

① 臨界采樣Gabor展開要求條件：TΩ=2π；

② 過采樣展開要求條件：TΩ≤2π；

當TΩ＞2π時，欠采樣Gabor展開，已證明會導致數值上的不穩定。

6) 應用

① 暫態信號檢測

如果對信號波形有一定的先驗知識且可以據此選取合適的基函數，可以用Gabor變換對信號作精確的檢測統計計量。

② 圖象分析與壓縮

二維Gabor變換可以應用到圖象分析與壓縮中。

3. 二維Gabor濾波器

用Gabor 函數形成的二維Gabor 濾波器具有在空間域和頻率域同時取得最優局部化的特性，因此能夠很好地描述對應於空間頻率(尺度)、空間位置及方向選擇性的局部結構信息。Gabor濾波器的頻率和方向表示接近人類視覺系統對於頻率和方向的表示，並且它們常備用於紋理表示和描述。在圖像處理領域，Gabor濾波器是一個用於邊緣檢測的線性濾波器。，在空域，一個2維的Gabor濾波器是一個正弦平面波和高斯核函數的乘積。Gabor濾波器是自相似的，也就是說，所有Gabor濾波器都可以從一個母小波經過膨脹和旋轉產生。實際應用中，Gabor濾波器可以在頻域的不同尺度，不同方向上提取相關特征。