二叉樹中節點的最大的距離（編程之美3.8）

問題定義

把二叉樹看成一個圖，父子節點之間的連線看成是雙向的，定義“距離”為兩個節點之間的邊數。例如下圖中最大距離為紅線的條數為6.

分析

定義：過以節點x作為根節點的子樹中，節點間的最大距離為Dis(x)。

上圖，左圖中Dis(根節點)最大，右圖中Dis(根節點->left)最大。從上邊可以看出每個節點都可能成為最大距離根節點的潛質。

因此可以求出每個Dis(節點)，從中得出最大值即為整個二叉樹的根節點最大值。

在求過點x的最大距離時，最大距離的兩個點有可能出現在三種情況下

1. 左子樹
2. 右子樹
3. 過節點x

經分析得出以下特點

1. 以上三種情況最終必定一葉子結束
2. 在第三種情況下必然是左子樹高度 與 右子樹高度 之和（只有這樣，才可能取得最大值）

經過以上分析即可得出遞推式

Dis(x) = max(Dis(x->left), Dis(x->right), height(x->left)+height(x->right))

參考代碼

int treeDistance(BiTree root)
{
    if(root == NULL)
        return 0;
    else if(root->left == NULL && root->right == NULL)
        return 0;
    int dis = max(height(root->left) + height(root->right), treeDistance(root->left), treeDistance(root->right));
    if(maxDis < dis)
        maxDis = dis;
    return dis;
}

這里用了一個技巧：maxDis是個全局變量，遞歸一次根節點會遍歷到每個節點，在這期間於maxDis比較，從而得出了最大值，而不需要額外的空間。
完整運行代碼

#include<iostream>
using namespace std;
typedef struct BiTNode
{
    BiTNode *left;
    BiTNode *right;
}BiTNode, *BiTree;

int maxDis = 0;

void createTree(BiTree &root)
{
    BiTree left1 = new(BiTNode);
    BiTree right1 = new(BiTNode);
    
    left1->left = NULL;
    left1->right = NULL;
    right1->left = NULL;
    right1->right = NULL;

    root->left = left1;
    root->right = right1;


    BiTree left2 = new(BiTNode);
    left2->left = NULL;
    left2->right = NULL;
    BiTree right2 = new(BiTNode);
    right2->left = NULL;
    right2->right = NULL;
    left1->left = left2;
    left1->right = right2;

    BiTree left3 = new(BiTNode);
    left3->left = NULL;
    left3->right = NULL;
    BiTree right3 = new(BiTNode);
    right3->left = NULL;
    right3->right = NULL;
    left2->left = left3;
    left2->right = right3;
}

void deleteTree(BiTree root)
{
    if(root)
    {
        deleteTree(root->left);
        deleteTree(root->right);
        delete(root);
        root = NULL;
    }
}

int height(BiTree root)
{
    if(root == NULL)
        return 0;
    else
        return height(root->left) > height(root->right) ? height(root->left) + 1 : height(root->right) + 1;
}

int max(int a, int b, int c)
{
    int tmp = a > b ? a : b;
    return tmp > c ? tmp : c;
}

int treeDistance(BiTree root)
{
    if(root == NULL)
        return 0;
    else if(root->left == NULL && root->right == NULL)
        return 0;
    int dis = max(height(root->left) + height(root->right), treeDistance(root->left), treeDistance(root->right));
    if(maxDis < dis)
        maxDis = dis;
    return dis;
}

int main()
{
    BiTree root = new(BiTNode);
    root->right = root->left = NULL;
    createTree(root);    
    cout << "height:" << height(root) << endl;
    cout << "treeDistance:" << treeDistance(root) << endl;
    cout << "_____________________" << endl;
    deleteTree(root);
}

結果
4