樹狀數組(Binary Indexed Tree) 總結

1.“樹狀數組”數據結構的一種應用

　　對含有n個元素的數組(a[1],...,a[k],...,a[n])：

　　(1)求出第i個到第j個元素的和，sum=a[i]+...+a[j]。

　　　　進行j-i+1次加法，復雜度為O(j-i+1)

　　(2)任意修改其中某個元素的值。

　　　　使用數組下標可以直接定位修改，時間復雜度為O(1)

 　　對於同時支持上述兩種操作的系統中，求和操作(1)求任意連續個數組元素和的平均時間復雜度為O(n)，修改操作(2)時間復雜度是O(1)。如果系統中大量進行上述兩種操作m次，其中執行操作(1)概率1/p，操作(2)概率1-1/p，則系統時間復雜度為：

　　可以使用樹狀數組使得上述兩種操作的時間復雜度為O(m*logn)。

2.樹狀數組介紹

　　核心思想：

　　　　(1)樹狀數組中的每個元素是原數組中一個或者多個連續元素的和。

　　　　(2)在進行連續求和操作a[1]+...+a[n]時，只需要將樹狀數組中某幾個元素的和即可。時間復雜度為O(lgn)

　　　　(3)在進行修改某個元素a[i]時，只需要修改樹狀數組中某幾個元素的和即可。時間復雜度為O(lgn)

　　下圖就是一個樹狀數組的示意圖：

　　解釋如下：

　　1)　a[]: 保存原始數據的數組。(操作(1)求其中連續多個數的和，操作(2)任意修改其中一個元素)

　　　　e[]: 樹狀數組，其中的任意一個元素e[i]可能是一個或者多個a數組中元素的和。如e[2]=a[1]+a[2]; e[3]=a[3]; e[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]。 

　　2） e[i]是幾個a數組中的元素的和？

　　　　如果數字 i 的二進制表示中末尾有k個連續的0，則e[i]是a數組中2^k個元素的和，則e[i]=a[i-2^k+1]+a[i-2^k+2]+...+a[i-1]+a[i]。

　　　　如：4=100(2)　　e[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];

　　　　　　6=110(2)　　e[6]=a[5]+a[6]

　　　　　　7=111(2)　　e[7]=a[7]

　　3)　后繼：可以理解為節點的父親節點。是離它最近的，且編號末位連續0比它多的就是它的父親,如e[2]是e[1]的后繼；e[4]是e[2]的后繼。

　　　　　　如e[4] = e[2]+e[3]+a[4] = a[1]+a[2]+a[3]+a[4] ，e[2]、e[3]的后繼就是e[4]。

　　　　　　后繼主要是用來計算e數組，將當前已經計算出的e[i]添加到他們后繼中。

　　　　前驅：節點前驅的編號即為比自己小的，最近的，最末連續0比自己多的節點。如e[7]的前驅是e[6],e[6]的前驅是e[4]。

 　　　　　  前驅主要是在計算連續和時，避免重復添加元素。

　　　　　　如：Sum(7)=a[1]+...+a[7]=e[7]+e[6]+e[4]。(e[7]的前驅是e[6], e[6]的前驅是e[4])

　　　　計算前驅與后繼：

　　　　　　lowbit(i) = ( (i-1) ^ i) & i ;

　　　　　　節點e[i]的前驅為 e[ i - lowbit(i) ]；

　　　　　　節點e[i]的前驅為 e[ i + lowbit(i) ]

3.樹狀數組代碼示例

#include <iostream>
#include <stdio.h>

using namespace std;

int input(int*,int*,int);    ///輸入數據
int calStageSum(int*,int);    ///計算樹狀數組
int getSum(int*,int);    ///求出前n個數字的和
int updataElement(int*,int*,int,int,int);    ///更新某一位置上的元素

int main (){
    int n;
    int newValue;
    cout<<"Input the n(n>3) :";
    cin>>n;

    int *num = new int[n+1];
    int *sum = new int[n+1];

    cout<<"Input "<<n<<" numbers"<<endl;
    input(num,sum,n);
    calStageSum(sum,n);

    cout<<"The sum of first three number:"<<getSum(sum,3)<<endl;

    cout<<"Update the 2nd number value:";
    cin>>newValue;
    updataElement(sum,num,n,2,newValue);

    cout<<"The sum of first three number:"<<getSum(sum,3)<<endl;

    delete []num;
    delete []sum;
    return 0;
}

int input(int* num,int *sum,int n){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>num[i];
        sum[i] = num[i];
    }
    return 0;
}

int calStageSum(int *sum,int n){
    int lowbit;
    int par;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        lowbit = ((i-1)^i)&i;
        par = lowbit+i;   ///后繼節點id
        if(par <= n){
            sum[par] = sum[par] + sum[i];
        }
    }
    return 0;
}

int getSum(int* sum,int n){
    int sumPreN = 0;
    int lowbit  = 0;
    while(n!=0){
        sumPreN += sum[n];
        lowbit = ((n-1)^n)&n;
        n = n - lowbit; ///前驅節點id
    }
    return sumPreN;
}

int updataElement(int* sum,int *num,int n,int pos,int newvalue){
    int lowbit = 0;
    int dis = newvalue - num[pos];
    num[pos] = newvalue;
    sum[pos] = sum[pos]+dis;

    while(true){
        lowbit = ((pos-1)^pos)&pos;
        pos = pos + lowbit; ///后繼節點id
        if(pos <= n){
            sum[pos] = sum[pos]+dis;
        }
        else
            break;
    }
    return 0;
}