一、本文內容
以一種簡明易懂的方式介紹紅黑樹背后的邏輯實現2-3-4樹，以及紅黑樹的插入、刪除操作，重點在2-3-4樹與紅黑樹的對應關系上，並理清紅黑樹相關操作的來龍去脈。拋棄以往復雜的實現，而分析紅黑樹的一種簡單實現LLRB。
二、算法應用
紅黑樹，給人以強烈的第一聽覺沖擊力——紅與黑，好像很高端的感覺。事實上的確如此，紅黑樹是一種高級數據結構，在C++、Java的標准庫里作為set、map的底層數據結構實現，以及linux中進程的公平調度。
三、2-3-4樹
標題是紅黑樹，為什么講2-3-4樹？因為紅黑樹就是2-3-4樹的一種等價形式，更准確地來說，我們用紅黑樹來完成2-3-4樹的各種操作（如插入、刪除）。原因就是2-3-4樹的實現即維護太麻煩。所以理解2-3-4樹才能真正理解紅黑樹。而歷史就是這么發展的，了解過去，現在的一切才有了意義。算法導論關於紅黑樹這一節就忽略了這一點，讓人知其然而不知其所以然。
OK，暫時先忽略復雜的紅黑樹，從簡單的2-3-4樹開始。
1、定義
2-3-4樹是一種泛化的BST，它的每個結點允許1,2或者3個鍵(key)，那么對應的有三種結點：
2-node：一個key，兩個孩子；
3-node：二個key，三個孩子；
4-node：三個key，四個孩子。
注：k-node表示有k個鏈接（link）。泛化的BST還有2-3樹，B樹等。
從圖中可以看出2-3-4樹的另一個性質：它是完全平衡的（等高），即從根結點到葉子結點距離相等。
2、插入操作
2-3-4樹本身就是一種查找樹（中序遍歷有序），故其查找操作同二叉查找。
2-3-4樹的插入操作類似二叉查找樹，先是查找操作失敗（從根結點查找到葉子結點），然后在底部的葉子結點插入。
因為2-3-4樹的結點有三種類型，所以操作有點差異。對於2-node和3-node，分別直接插入可變成3-node，4-node；但是對於4-node若直接插入則違反了定義。在4-node插入之前，先分裂4-node成2個2-node，再將待插入的key插入對應的2-node。 如下圖，H查找失敗，在H插入4-node（由三個key F、G、J組成）之前，先對該4-node分裂（將三個key的中間值提上父節點，剩余的二個key分別作為中間key的左右孩子），然后再將H插入2-node J中。這樣操作的結果是查找到達底部葉子結點時，始終是2-node或者3-node。
插入算法思想：自下而上的算法由原作者Bayer在1972年提出，自上而下的算法由Guibas-Sedgewick（紅黑樹這個名字來源於他們）在1978年提出，然后30年后也就是2008年Sedgewick教授又改進了紅黑樹的操作，也就是后面要介紹的LLRB。
自上而下的算法思路是，從根結點向下的查找過程中，遇到4-node就分裂，最后在底部的葉子結點插入。
那么為什么遇到4-node就分裂呢？4-node不是2-3-4樹的一種合法結點類型嗎？
答案可以從后面LLRB的算法思路可以得出。
因為遇到4-node就分裂就保證了當前結點不是4-node，則分裂孩子的4-node有兩種情形：
分裂4-node的case 1
分裂4-node的case 2
注：上面的變換在樹中任意位置都成立。
下面兩張圖是完整的插入過程（只有分裂結點類型為4-node的根結點才會導致樹高增1）：
3、平衡性分析
2-3-4樹的樹高在最壞情況下為lgN（所有結點都是2-node型），最好情況下為lg4 N = 1/2 lgN（所有結點都是4-node型），2-3-4樹的查找、插入操作都是lgN。
四、紅黑樹
終於到了高富帥——紅黑樹。。。
從2-3-4樹的介紹可以看出，對2-node、3-node、4-node的不同數據類型進行轉換，但所涉及的大部分任務使用這種
直接的表示方法來實現並不方便。所以可以用
一種
統一的方式完成轉換，而只需很小的開銷。這就是紅黑樹存在的意義，既有BST的標准搜索過程，又有2-3-4樹的簡單插入平衡過程。
下面介紹LLRB（Left-leaning red-black trees），而不是標准的紅黑樹。
1、定義
LLRB有三個特點：
（1）用BST來表示2-3-4樹；
（2）用紅邊(紅鏈接)來連接2-node來表示3-node和4-node（如下圖）；
（3）3-node必須是向左傾斜的（兩者的大者作為根）。
LLRB相對於標准的RB多了特點3，在標准的RB中右向傾斜的紅鏈接是允許的。對於特點2，在物理上用一個bit（紅或黑）來存儲以表示指向該結點的紅鏈接。
紅鏈接來連接3-node或者4-node的內部key，而黑鏈接則連接外部的key；為了理解，可以消除紅鏈接並將它們連接的結點都折疊起來（即將看做紅鏈接連
接的點縮為一個點），則可以看出黑鏈接個數不變。
2-3-4樹與紅黑樹是一一對應的關系
且上下關系中不允許2個連續的紅邊
由特點3可以推出LLRB的一個特性，紅黑樹與2-3-4樹一一對應。
2、插入算法
同樣地，在LLRB中查找操作同BST。
在插入之前要知道一個操作：
旋轉。它有兩種情況：左旋，右旋。
左旋 右旋
插入算法思路：即前面介紹的2-3-4樹
具體實現時，插入一個結點時，始終是紅結點，即用紅邊鏈接該結點。對於2-node、3-node直接插入（k-node有k個插入點），如違反上面的左紅鏈接和連續的紅鏈接，則旋轉作調整。對於4-node（左右都為紅鏈接），先分裂，物理實現是一個
翻轉（左右紅鏈接變黑，父鏈接變紅）。
2-node插入的兩種case
3-node插入的三種case
4-node分裂操作
由4-node的分裂可知黑高度不變，分裂操作即翻轉在圖片上對應為紅鏈接向上傳遞。
在介紹2-3-4樹時，4-node分裂操作有兩種情況，4-node的parent是2-node和3-node；再結合k-node有k個插入點，則總共有6種情況。
4-node的分裂case 1
4-node的分裂case 2
看了上面兩幅圖后，也許會讓人覺得紅黑樹太復雜了，這么多case，其實不然，在LLRB實現中只有兩種操作：
旋轉、
翻轉。旋轉的目的是保持平衡，翻轉的目的是分裂4-node。
看了下面的LLRB插入算法，你就會明白上面4-node的翻轉、旋轉其實是分開的兩個過程（翻轉自上而下，旋轉自下而上），只是為了統一這個完整的過程而畫在了一起，才會有那么多case。
LLRB的插入算法：
首先結合2-3-4樹的插入算法思路，先自上至下查找（遇到4-node則翻轉），然后在底部葉子結點插入，因為在自上至下的過程中，可能會產生不滿足LLRB的性質的情況，故插入結點后需要自下至上調整以恢復LLRB性質。
下圖是插入算法的核心代碼，第2是分裂即翻轉，第1是插入操作，第3、4是調整。
從插入算法可以看出，如果自下而上再分裂4-node，則會出現它的parent也可能是4-node，祖父結點也可能是4-node；我們可以一直向上分裂，這也正是上面提到的自下而上的思路（原作者：Bayer）；而更簡單的方法是，在沿樹向下的過程中，遇到4-node就分裂，這也正是自上而下與自下而上的區別。
插入算法的核心代碼
上圖的核心代碼按照自上而下和自下而上的順序放入BST的插入（遞歸版本）操作中即得到下圖的完整的插入算法。
注：分裂（即翻轉）是自上而下，所以放在遞歸之前；調整（即旋轉）是自下而上，所以放在遞歸之后。
完整的插入代碼
如果將分裂操作放到遞歸之后，也就是先自上而下查找，插入結點，然后自下而上調整也可同樣完成插入操作而不破壞LLRB的性質。
2-3樹的插入操作
其實上述描述的就是2-3樹的插入操作，它與2-3-4樹的插入的區別在於：2-3樹先插入，再分裂（down）、調整（up）；2-3-4樹先分裂（down），再插入、調整（up）。又因為插入總是在最后一層進行，故翻轉的位置決定了對應樹的實現。
這也是為什么2-3-4樹叫top-down，而2-3樹叫bottom-up。
3、刪除算法
LLRB的刪除類似於插入，只不過處理剛好相反。插入、刪除都有臨界點：插入4-node，刪除2-node，對臨界點的操作都會引起突變，因為它們會破壞LLRB的性質(黑高度)。
所以同插入一樣，先從上至下查找，如果查找在3-node或4-node結束，則直接刪除；
3-node和4-node的刪除
對於2-node的刪除同4-node的插入相反，2-node的刪除是先合並2個2-node為1個4-node，然后再安全地刪除對應的2-node中的key。
同樣地，因為parent不為2-node（遇到即合並），再結合兄弟結點的2、3、4-node，則刪除總共有6種情況（2-node的兄弟為2-node, 3-node,4-node，父親為3-node,4-node,總共2*3=6種情況）。同樣，實際的刪除實現也沒這么復雜。
2-node的刪除（其實合並和借都是借，2-node不能直接刪除，先合並或者借再刪。）
在介紹刪除任意一個結點時，先分析刪除樹中最小的結點。因為它是刪除任意結點的一部分，后面可以看出來。
首先，為了保證可以直接刪除最小的某個結點，需要假設當前結點h或者h.left是紅色鏈。
然后從上而下查找過程中，2個2-node要變為1個4-node，則需反向翻轉（紅色父鏈接變黑，黑色子鏈接變紅），
為了將紅鏈從上向左子樹傳遞（刪除紅結點，不改變黑高度），需保證h為紅，h.left和h.left.left為黑；
當h.left和h.left.left都為黑時，
如果h.right.left為紅，則要從右邊借兄弟（下圖case 2），如果h.right.left為黑，則不需要（下圖case1）。
注：在翻轉的同時，右子樹可能會產生連續的紅鏈，則需調整。
case 1
case 2
紅鏈向左移動 紅鏈向左移動對應的example
deleteMin的實現
deleteMin的example
完成了deleteMin就完成了LLRB的刪除操作的一大半。現在是刪除LLRB的任意一個key，
自上而下查找過程中，左邊查找用moveRedLeft；右邊查找用moveRedRight；直到最后的底部葉子結點，直接刪除即可；同樣，自下而上調整。
怎樣將delete操作歸約到delteMin去呢？算法導論提供的一個技巧是：replace，deleteMin（即用后繼的key代替當前的key，再刪除右孩子的最小結點）。
刪除技巧
完整刪除代碼
參考：
《算法導論》
《algorithm in c》
PS：9.9憶山東兄弟，必登高望遠，一覽縱山小。