給定能隨機生成整數1到5的函數，寫出能隨機生成整數1到7的函數(均勻概率問題）

google面試題：給定能隨機生成整數1到5的函數，寫出能隨機生成整數1到7的函數。

問題分析：現在給了一個能隨機生成1~5的隨機函數，怎樣利用這個已知條件生成一個1~7的隨機函數呢？既然要生成的是隨機數那么生成1,2,3,4,5,6,7的概率就應該是一樣的。顯然現在光生成1~5之間的數就不夠了，我們想到應該要加大生成數的范圍，並且加大范圍的同時還要保證每個數產生的概率一樣，於是有這樣一種方法用這個表達式來擴大生成數范圍：rand5()*5+rand5()，新的數據范圍變成：6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30.並且可以看出來這個25個數出現的可能性是一樣的，於是我們可以只用6~26之間的21個數變成1~7這7個數，於是就是要每3個數對應一個數，即：

6,7,8對應1

9,10,11對應2

…………

24,25,26對應7

這種變化對應的方式是（6 - 3）/ 3 = 1,(7 - 3) / 3 = 1,(8-3) / 3 = 1.

int rand7()
{
    int i;
    //直到產生6~26之間的數跳出循環
    while((i=rand5()*5+rand5()) > 26) ;
    return (i-3)/3;
}

總感覺這種方式不好，雖然1-7概率均勻，但相加不等於1。現在深入分析:

假設我們要等概率生成一個3位的10進制數(000 - 999)，我們可以在 隨機生成整數0到9的函數 基礎上，隨機生成3個數字組成三位數就得到了結果。

這里類似，我們首先必須認識到：任何一個數都可以用5進制的數來表示，如12 = 5進制(22) = 2*5 + 2。因此假設我們要隨機生成[0,444]范圍的數，我們只要隨機生成3個5進制的數字組合就可以。

這里的主要問題是：7不是5的冪次方。

但是我們可以將某一個5的冪次方均分成 7 段(分別為0 - 6，等概率的落到每一段)，利用5進制隨機成一個數，看這個數在哪一個段，就代表我們要生成哪一個數字，這樣就保證了等概率的生成0 - 6.

有一個小的問題就是：5的冪次方不能整除7，會遺漏最高的幾個數。但是我們這里只要數字足夠大，則遺漏的概率相當的小。

下面是簡單的代碼：

const int K = 10;//[0, 5^K - 1]
int Base[K],Rnd[K],Step; //Step表每個區間的長度
int Rand15() //已有的隨機生成1 - 5的隨機函數
{
    return rand()%5 + 1;
}
void Init()
{
    Base[0] = 1;
    for(int i=1 ;i<K; ++i)
        Base[i] = Base[i-1]*5;
    Step = Base[K-1]*5/7;
    //cout<<"Step = "<<Step<<"\tStep*7 = "<<Step*7<<endl;
    srand(time(0));
}
int Rand17() //我們需要寫的隨機生成1 - 7的隨機函數
{
    int Sum = 0;
    for(int i=0 ;i<K; ++i) //隨機生成K個1到5的隨機數
    {
        Rnd[i] = Rand15();
        Sum += (Rnd[i]-1)*Base[i];
    }
    return Sum/Step + 1;
}

這里K = 10的時候，保證遺漏了2個數，即落到余數里面的概率是：2/9765625.

利用rand[1,5】得到rand[1,7]可以抽象成利用rand[0,1]得到rand[0,n]，看下面的就清楚了。

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題目：已知rand7() 可以產生 1~7 的7個數（均勻概率），利用rand7() 產生rand10() 1~10（均勻概率）

記住這道題重點是：均勻概率。

rand7 產生的數概率是一樣的,即1~7出現概率一樣，由於我們對結果做了一定的篩選只能通過 1~5，而1~5出現的概率也是一樣的，又由於范圍為1~5 所以 temp1 出現 1~5的概率 為1/5 ,同理 后面的 出現 temp2 的概率為 1/2。

首先temp1出現在1~5的概率為1/5，而temp2出現 1~2 的概率為1/2，也就是說 5*(temp2-1) 出現5或0的概率為1/2,所以假如你要得到1~5的數的話 那么 5*（temp2-1） 必須0，所以因為你要保證 5*（temp2-1）=0，這個概率只有1/2,再加上 你前面指定1~5 的概率 為1/5 ,所以結果為 1/5*1/2=1/10

int rand10() 
02
{ 
03
    int temp1; 
04
    int temp2; 
05
    do 
06
    { 
07
        temp1 = rand7(); 
08
    }while(temp1>5); 
09
    do 
10
    { 
11
        temp2 = rand7(); 
12
    }while(temp2>2); 
13
    return temp1+5*(temp2-1); 
14
} 

已知一個函數f可以得到1-5間的隨機數，問怎么得到1-7的隨機數

對不對？

這個其實和算法導論上的一個題很像么：已知random等概率返回0或者1，那么試寫一個函數等概率返回[a,b]之間的整數。思路就是2進制表示[0, b-a]之間的數，先計算出至少需要多少位，按位生成一個二進制數，一旦大於b-a就重新生成。放到這里的話，表示成5進制就可以了~

推廣一下：對於等概率可以生成k個連續整數函數的函數randomk，設計生成[a,b]之間的整數的算法：
令n = b - a;則等概率生成[0，n]上的一個整數即可。於是用k進制表示生成的整數，設m=ceiling(logk(n)),（這個不對)

k^m-1=n; 求解m。m=ceil(logk(n+1)); 向上取整,如4，應該用3個二進制表示. log2(5) 向上取整. (m還可以寫成:

m= 1 +log2n)

1. int randN() {
2.   while (res > n) {
3.      for (i = 0; i < m; i++)  
4.          gen bit i for res with randomk
5.   }
6.   return res;
7. }
8. 期望的運行時間為t*m* i * (1 - (n+1)/k^m)^(i-1) * ((n+1)/k^m)，i從1加到無窮，t表示randomk的運行時間，那么計算這個級數的值為t*m*k^m/(n+1).
   帶入到這個題目，期望運行時間為50*t/7，還是很快的。

 利用rand()得到rand[0,n]的代碼:

void set(int &a,int i) { a |= (1<<i);}//一定要是引用
int randN(int n)
{
  
    int res=n+1;//讓第一次進入while循環，res只要》n即可.
    //c++只有log（默認以e為底)和log10，如果自己設定底數用換底公式
    float floatN=n;
    float tmp=log(floatN+1)/log(2.0);
    int m=ceil(tmp);
    //cout<<"m:"<<m<<endl;
    while(res>n)
    {
        res=0;
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            Sleep(20);
            srand(time(NULL));
            
            int bit=rand()%(2-0)+0;//[0,1]
            if(bit==1)
            {
                set(res,i);
            }
        }
    }
    return res;
}

參考：http://blog.csdn.net/pkueecser/article/details/7425994