| SIFT算法：DoG尺度空間生產 |
| SIFT算法：KeyPoint找尋、定位與優化 |
| SIFT算法：確定特征點方向 |
| SIFT算法：特征描述子 |
目錄：
1、計算鄰域梯度方向和幅值
2、計算梯度方向直方圖
3、確定特征點方向
1 計算鄰域梯度方向和幅值
為了實現圖像旋轉的不變性，需要根據檢測到的特征點的局部圖像結構求得一個方向基准。我們使用圖像梯度的方法求取該局部結構的穩定方向。對於己經檢測到特征點，我們知道該特征點的尺度值σ，因此根據這一尺度值，在GSS中得到最接近這一尺度值的高斯圖像。然后使用有限差分，計算以特征點為中心，以3X1.5σ為半徑的區域內圖像梯度的幅角和幅值，如下圖所示。幅角和幅值計算公式加下:
2 計算梯度方向直方圖
在完成特征點鄰域的高斯圖像的梯度計算后，使用直方圖統計鄰域內像素的梯度方向和幅值。梯度方向直方圖的橫軸是梯度方向角，縱軸是梯度方向角對應的（帶高斯權重）梯度幅值累加值。梯度方向直方圖將。0°~360°的范圍，分為36個柱，每10°為一個柱。直方圖的峰值代表了該特征點處鄰域內圖像梯度的主方向，也即該特征點的主方向，如下圖所示。
綠色格點代表鄰域范圍，藍色圓圈代表格點的高斯權重（稍后介紹），黑色箭頭指向代表梯度方向，箭頭長度代表梯度幅值。右邊為梯度方向直方圖（36柱，每柱代表10°，上圖只顯示了8柱）。獲得梯度方向直方圖的步驟如下：
- 生成領域各像元的高斯權重。其中高斯函數方差為該特征點的特征尺度σ的1.5倍。形式如下，其中（i,j）為該點距離特征點的相對位置，如上圖，左上角點像元距離特征點（0,0）（即中心點）的相對位置坐標為（-4,-4），同理，右下角像元為（4,4）。
- 遍歷鄰域（綠色）中每個點，判斷其梯度方向，將其加入相應的梯度方向直方圖中，加入量為其梯度幅值 * wi,j ，例如左上角(-4,-4)的點，其梯度為方向為25°，梯度幅值為mag，我們將其加入到hist[2]中（假設hist[0]為0°~10°的直方柱，hist[1]為10°~20°的直方柱，以此類推至hist[35]為350°~360°）。加入的量為mag* w(-4,-4)，即hist[2] = hist[2] + mag* w(-4,-4)。直至遍歷整個鄰域，統計出該特征點出的梯度方向直方圖。
- 平滑直方圖。對上一步得出的直方圖進行平滑，得到最終的梯度方向直方圖。OpenCV中使用的 (1/16) * [1,4,6,4,1] 的高斯卷積和對直方圖進行平滑處理，而vlfeat中使用了6次，鄰域大小為3的平均處理，即hist[i] = (hist[i-1]+hist[i]+hist[i+1])/3。
問題1： 為什么每個點梯度幅值要使用高斯權重？
答：由於SIFT算法只考慮了尺度和旋轉的不變性，並沒有考慮仿射不變性。通過對各點梯度幅值進行高斯加權，使特征點附近的梯度幅值有較大的權重，這樣可以部分彌補因沒有仿射不變性而產生的特征點不穩定的問題。
3 確定特征點方向
有了梯度方向直方圖之后，找到直方圖中最大的值，則認為該方向為該特征點的主方向，如存在另一個方向大於最大值的80％，則認為該方向為該特征點的輔方向。一個特征點可能會有多個方向（一個主方向，一個以上的輔方向），這可以增強匹配的魯棒性。具體而言，就是將該特征點復制成多份特征點（除了方向θ不同外，x,y,σ都相同）。
【Note】在OpenCV中，若輔方向除了滿足大於最大值80％外，還必須是局部最大值，即 hist[i] > hist[i-1] && hist[i] > hist[i+1]。
通常離散的梯度方向直方圖，可以通過插值擬合處理，這樣可以得到更精確的方向角度值。
經過上述過程，我們特征點的所有量（x,y,σ,θ）都已經已經求得，其中位置（x,y）、尺度σ都是在上一節中求得，而特征點方向θ是通過特征點鄰域直方圖求得。下一節，將介紹SIFT描述子的形成方式。
參考資料：
- David G. Lowe Distinctive Image Features from Scale-Invariant Keypoints
- 王永明 王貴錦 《圖像局部不變性特征與描述》