動態規划--凸多邊形最優三角剖分

算法設計與實現  王曉東

題目描述：

用多邊形頂點的逆時針序列表示凸多邊形，即P={v0,v1,…,vn-1}表示具有n條邊的凸多邊形。

    

　　給定凸多邊形P，以及定義在由多邊形的邊和弦組成的三角形上的權函數w。要求確定該凸多邊形的三角剖分，使得即該三角剖分中諸三角形上權之和為最小。

解題思路：

　　若凸(n+1)邊形P={v0,v1,…,vn-1}的最優三角剖分T包含三角形v0vkvn，1≤k≤n-1，則T的權為3個部分權的和：三角形v0vkvn的權，子多邊形{v0,v1,…,vk}和{vk,vk+1,…,vn}的權之和。可以斷言，由T所確定的這2個子多邊形的三角剖分也是最優的。因為若有{v0,v1,…,vk}或{vk,vk+1,…,vn}的更小權的三角剖分將導致T不是最優三角剖分的矛盾。

　　

　　

　　 那么我們定義一個t[i][j]，1<=i<=j<=N,為凸子多邊形{vi-1,vi,…,vj}的最優三角剖分所對應的權函數值，即其最優值。據此定義，要計算的凸(n+1)邊形P的最優權值為t[1][n]。

　　t[i][j]的值可以利用最優子結構性質遞歸地計算。當j-i≥1時，凸子多邊形至少有3個頂點。由最優子結構性質，t[i][j]的值應為t[i][k]的值加上t[k+1][j]的值，再加上三角形vi-1vkvj的權值，其中i≤k≤j-1。由於在計算時還不知道k的確切位置，而k的所有可能位置只有j-i個，因此可以在這j-i個位置中選出使t[i][j]值達到最小的位置。由此，t[i][j]可遞歸地定義為：

對於要求的t[1][n]，可以用通過由下至上的，從鏈長（多邊形的邊）為2開始計算，每次求t[i][j]的最小值，並且記錄最小值所對應的K值，根據最優子結構的性質，逐步向上就可以求出t[1][n]的最小值。

類似的，求三角划分頂點的乘積的最小值問題，也是一樣的。

 

代碼實現：

#include <stdio.h>

#define N 6        //頂點數/邊數

int weight[][N] = {{0,2,2,3,1,4},{2,0,1,5,2,3},{2,1,0,2,1,4},{3,5,2,0,6,2},
{1,2,1,6,0,1},{4,3,4,2,1,0}};

int t[N][N];    //t[i][j]表示多邊形{Vi-1VkVj}的最優權值
int s[N][N];    //s[i][j]記錄Vi-1到Vj最優三角剖分的中間點K

int get_weight(const int a, const int b, const int c)
{
    return weight[a][b] + weight[b][c] + weight[c][a];
}

void minest_weight_val()
{
    int i,r,k,j;
    int min;

    for (i = 1; i < N; i++)
    {
        t[i][i] = 0;
    }

    for (r = 2; r < N; r++)
    {
        for (i = 1; i < N-r+1; i++)
        {
            j = i + r -1;
            min = 9999;        //假設最小值
            for (k = i; k < j; k++)
            {
                t[i][j] = t[i][k] + t[k+1][j] + get_weight(i-1,k,j);
                if (t[i][j] < min)        //判斷是否是最小值
                {
                    min = t[i][j];
                    s[i][j] = k;    
                }
            }
            t[i][j] = min;        //取得多邊形{Vi-1，Vj}的划分三角最小權值
        }
    }
}

void back_track(int a, int b)
{
    if (a == b) return;
    back_track(a,s[a][b]);
    back_track(s[a][b]+1,b);    //記得這是要加一
    printf("最優三角: V%d V%d V%d.\n",a-1,s[a][b],b);
}



int main()
{
    minest_weight_val();
    printf("result:%d\n",t[1][N-1]);
    back_track(1,5);
    return 0;
}

2013/9/3 10:06