題目：Given a string containing just the characters '(' and ')', find the length of the longest valid (well-formed) parentheses substring.
For "(()", the longest valid parentheses substring is "()", which has length = 2.
Another example is ")()())", where the longest valid parentheses substring is "()()", which has length = 4.
拿到題目，哎呀，這不是典型的動態規划嘛，然后刷刷開始coding。這道題確實可以用動態規划，但是復雜度就上去了，事實證明也沒法通過大集合的測試。不過還是可以當一個DP的練習。如果你比較忙，直接看解法二吧。
用longestValid[i][j]表示從S串中的字符i到j的最長well-formed表達式的長度；isValid[i][j]表示從i到j是否是一個valid的表達式。
如何判斷longestValid[i][j]的取值呢？有下面幾種情況：
假定有一個maxlength變量。
1. 如果i='(' 並且 j=')'，
a. 如果j = i+1,那這是一個valid的表達式；
b. 如果isValid[i+1][j-1]為真，那這也是一個valid表達式；
c. 對所有在i到j之間的k，如果isValid[i,k]&&isValid[k+1,j]為真，那么這是一個valid表達式，這三種情況maxlength都是i到j的距離；
d.其他情況，maxlength = longestValid[i][j-1]和 longestValid[i+1][j]比較大的那個。
2. 如果i='(' 並且 j='(', maxlength等於longestValid[i][j-1]。
3. 如果i=')' 並且 j=')', maxlength等於longestValid[i+1][j]。
4. 如果i=')‘ 並且 j='(', maxlength等於longestValid[i-1][j-1].
判斷完成后，longestValid[i][j]賦值於maxlength。
下面是代碼，是不是很復雜很想給博客君一巴掌。
解法一：
1 private static int longestValidParentheses(String s) { 2 // Start typing your Java solution below 3 // DO NOT write main() function 4 if(s.length() == 0) return 0; 5 boolean[][] isValid = new boolean[s.length()][];//isValid[i][j] is true when from i to j, this is a valid parentheses expression 6 int[][] longestValid = new int[s.length()][];//the longest length of valid expression between i and j 7 for(int i = 0; i < s.length();i++){ 8 isValid[i] = new boolean[s.length()]; 9 longestValid[i] = new int[s.length()]; 10 } 11 for(int j = 1; j < s.length();j++){ 12 for(int i = j - 1; i >=0;i--){ 13 int left = s.charAt(i); 14 int right = s.charAt(j); 15 int maxLength = 0; 16 if(left == '(' && right ==')'){ 17 if(i + 1 == j) { 18 isValid[i][j] = true; 19 if(maxLength < 2) maxLength = 2; 20 }else { 21 if(isValid[i+1][j-1]){ 22 isValid[i][j] = true; 23 if(maxLength < j - i + 1) maxLength = j - i + 1; 24 }else if(isValid[i][i+1] && isValid[j-1][j] && 25 (isValid[i + 2][j - 2] || j - i == 3)){ 26 isValid[i][j]=true; 27 if(maxLength < j - i + 1) maxLength = j - i + 1; 28 }else { 29 maxLength = Math.max(longestValid[i][j-1], longestValid[i+1][j]); 30 for(int k = i + 1; k < j;k++){ 31 if(isValid[i][k] && isValid[k + 1][j]) { 32 maxLength = j - i + 1; 33 isValid[i][j]=true; 34 break; 35 } 36 } 37 } 38 } 39 }else { 40 if(left == '(' && right == '(' 41 && longestValid[i][j-1] > maxLength) maxLength = longestValid[i][j-1]; 42 if(left == ')' && right == ')' 43 && longestValid[i+1][j] > maxLength)maxLength = longestValid[i+1][j]; 44 if(left ==')' && right == '(' 45 && longestValid[i+1][j-1] > maxLength){ 46 maxLength = longestValid[i+1][j-1]; 47 } 48 } 49 longestValid[i][j] = maxLength; 50 } 51 } 52 return longestValid[0][s.length()-1]; 53 }
plus，這是O(n3)的。。。。“該吃葯了。。親”。如期望的，該解法在大集合的時候超時。
解法二：來自leetcode討論組的寫法。本來人有O(n)的解法，被樓主活生生地賣弄成了O(n3)。樓主真想挖個坑把自己埋了！！！
大家首先看，這個解法里面的stack，不是用來存左右括號的。人是來存左括號的index。本來么，右括號也不用存。遍歷S。遇到'('，放入lefts。如果遇到')'，如果lefts是空，說明這是一個無法匹配的')'，記錄下last。last里面存放的其實是最后一個無法匹配的')'。為啥要保存這個值呢？主要是為了計算后面完整的表達式的長度。可以這樣理解： “所有無法匹配的')'”的index其實都是各個group的分界點。
1 public static int longestValidParentheses2(String s) { 2 int maxLen = 0, last = -1; 3 Stack<Integer> lefts = new Stack<Integer>(); 4 for (int i=0; i<s.length(); ++i) { 5 if (s.charAt(i)=='(') { 6 lefts.push(i); 7 } else { 8 if (lefts.isEmpty()) { 9 // no matching left 10 last = i; 11 } else { 12 // find a matching pair 13 lefts.pop(); 14 if (lefts.isEmpty()) {//有一個完整的valid的group。計算該group的長度 15 maxLen = Math.max(maxLen, i-last); 16 } else { 17 //棧內還有‘(',一個最外層完整的group還沒有匹配完成， 18 //但是通過查詢下一個即將匹配還未匹配的"("的index來更新maxLen。 19 maxLen = Math.max(maxLen, i-lefts.peek()); 20 } 21 } 22 } 23 } 24 return maxLen; 25 }
總結下：
DP不是萬能的。注意發現問題的本質。不過這個確實要靠足夠的練習。解法二的代碼確實很簡潔，但是並不是人人都能想到的。