【轉】DCT變換的透徹解析

3、離散余弦變換 DCT
　　將圖像從色彩域轉換到頻率域，常用的變換方法有：

DCT變換的公式為：

f(i，j) 經 DCT 變換之后，F(0，0) 是直流系數，其他為交流系數。
　　還是舉例來說明一下。
　　8x8的原始圖像：

推移128后，使其范圍變為 -128~127：

使用離散余弦變換，並四舍五入取最接近的整數：

上圖就是將取樣塊由時間域轉換為頻率域的 DCT 系數塊。
DCT 將原始圖像信息塊轉換成代表不同頻率分量的系數集，這有兩個優點：其一，信號常將其能量的大部分集中於頻率域的一個小范圍內，這樣一來，描述不重要的分量 只需要很少的比特數；其二，頻率域分解映射了人類視覺系統的處理過程，並允許后繼的量化過程滿足其靈敏度的要求。
　　當u，v = 0 時，離散余弦正變換（DCT）后的系數若為F(0，0)=1，則離散余弦反變換（IDCT）后的重現函數 f(x，y)=1/8，是個常 數值，所以將 F(0，0) 稱為直流(DC)系數；當 u，v≠0 時，正變換后的系數為 F(u，v)=0，則反變換后的重現函數 f(x，y) 不是常數，此時 正變換后的系數 F(u，v) 為交流（AC）系數。
　　DCT 后的64個 DCT 頻率系數與 DCT 前的64個像素塊相對應，DCT 過程的前后都是64個點，說明這個過程只是一個沒有壓縮作用的無損變換過程。
　　單獨一個圖像的全部 DCT 系數塊的頻譜幾乎都集中在最左上角的系數塊中。
　　DCT 輸出的頻率系數矩陣最左上角的直流 （DC）系數幅度最大，圖中為-415；以 DC 系數為出發點向下、向右的其它 DCT 系數，離 DC 分量越遠，頻率越高，幅度值越小，圖中最右下角為2，即圖像信息的大部分集中於直流系數及其附近的低頻頻譜上，離 DC 系數越來越遠的高頻頻譜幾乎不含圖像信息，甚至於只含雜波。
　　DCT 本身雖然沒有壓縮作用，卻為以后壓縮時的"取"、"舍" 奠定了必不可少的基礎。
4、量化
　　量化過程實際上就是對 DCT 系數的一個優化過程。它是利用了人眼對高頻部分不敏感的特性來實現數據的大幅簡化。
　　量化過程實際上是簡單地把頻率領域上每個成份，除以一個對於該成份的常數，且接着四舍五入取最接近的整數。
　　這是整個過程中的主要有損運算。
以這個結果來說，經常會把很多高頻率的成份四舍五入而接近0，且剩下很多會變成小的正或負數。
　　整個量化的目的是減小非“0”系數的幅度以及增加“0”值系數的數目。
　　量化是圖像質量下降的最主要原因。
　　因為人眼對亮度信號比對色差信號更敏感，因此使用了兩種量化表：亮度量化值和色差量化值。

使用這個量化矩陣與前面所得到的 DCT 系數矩陣：

如，使用?415（DC系數）且四舍五入得到最接近的整數

總體上來說，DCT 變換實際是空間域的低通濾波器。對 Y 分量采用細量化，對 UV 采用粗量化。
　　量化表是控制 JPEG 壓縮比的關鍵，這個步驟除掉了一些高頻量；另一個重要原因是所有圖片的點與點之間會有一個色彩過渡的過程，大量的圖像信息被包含在低頻率中，經過量化處理后，在高頻率段，將出現大量連續的零。
　　5、“Z”字形編排
　　量化后的數據，有一個很大的特點，就是直流分量相對於交流分量來說要大，而且交流分量中含有大量的0。這樣，對這個量化后的數據如何來進行簡化，從而再更大程度地進行壓縮呢。
這就出現了“Z”字形編排，如圖：

對於前面量化的系數所作的 “Z”字形編排結果就是：
　　底部 ?26，?3，0，?3，?3，?6，2，?4，1 ?4，1，1，5，1，2，?1，1，?1，2，0，0，0，0，0，?1，?1，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0 頂部
　　這樣做的特點就是會連續出現多個0，這樣很有利於使用簡單而直觀的行程編碼(RLE：Run Length Coding)對它們進行編碼。
　　8×8圖像塊經過 DCT 變換之后得到的 DC 直流系數有兩個特點，一是系數的數值比較大，二是相鄰8×8圖像塊的 DC 系數值變化不大。根據這個特點，JPEG 算法使用了差分脈沖調制編碼（DPCM）技術，對相鄰圖像塊之間量化 DC 系數的差值（Delta）進行編碼。即充分利用相鄰兩圖像塊的特性，來再次簡化數據。
　　即上面的 DC 分量-26，需要單獨處理。
　　而對於其他63個元素采用zig-zag（“Z”字形）行程編碼，以增加行程中連續0的個數。