神奇的Gamma函數 (中)

 

rickjin

 

關鍵詞： 特殊函數, 高斯

Gamma 函數欣賞

Each generation has found something of interest to say about the gamma function. Perhaps the next generation will also.
—Philip J.Davis

Gamma 函數從它誕生開始就被許多數學家進行研究，包括高斯、勒讓德、威爾斯特拉斯、柳維爾等等。這個函數在現代數學分析中被深入研究，在概率論中也是無處不在，很多統計分布都和這個函數相關。Gamma 函數作為階乘的推廣，首先它也有和 Stirling 公式類似的一個結論

Γ(x)∼2π−−√e−xxx−12

另外， Gamma 函數不僅可以定義在實數集上，還可以延拓到整個復平面上。

復平面上的Gamma 函數

frist derivative	nxn−1，
second derivative	n(n−1)xn−2，
third derivative	n(n−1(n−2)xn−3，
⋯
k-th derivative	n(n−1(n−2)⋯(n−k+1)xn−k=n!(n−k)!xn−k，

由於k階導數可以用階乘表達，於是我們用Gamma 函數表達為

Γ(n+1)Γ(n−k+1)xn−k

於是基於上式，我們可以把導數的階從整數延拓到實數集。例如，取n=1,k=12我們可以計算 x 的 12階導數為

Γ(1+1)Γ(1−1/2+1)x1−1/2=2x√π−√

很容易想到對於一般的函數 f(x) 通過 Taylor 級數展開可以表達為冪級數，於是借用 xn 的分數階導數，我們可以嘗試定義出任意函數的分數階導數。不過有點遺憾的是這種定義方法並非良定義的，不是對所有函數都適用，但是這個思想卻是被數學家廣泛采納了，並由此發展了數學分析中的一個研究課題：Fractional Calculus,在這種微積分中，分數階的導數和積分都具有良定義，而這都依賴於 Gamma 函數。

Gamma 函數和歐拉常數γ 有密切關系，可以發現

γ=−dΓ(x)dx|x=1=limn→∞(1+12+13+⋯+1n–logn)

進一步還可以發現 Gamma 函數和黎曼函數ζ(s)有密切聯系，

ζ(s)=1+12s+12s+⋯

而ζ 函數涉及了數學中著名的黎曼猜想和素數的分布定理。希爾伯特曾說，如果他在沉睡1000年后醒來,他將問的第一個問題便是:黎曼猜想得到證明了嗎？

logΓ(x)

從Gamma 函數的圖像我們可以看到它是一個凸函數, 不僅如此, logΓ(x) 也是一個凸函數，數學上可以證明如下定理:

[Bohr-Mullerup定理] 如果 f:(0,∞)→(0,∞),且滿足

1. f(1)=1
2. f(x+1)=xf(x)
3. logf(x) 是凸函數

那么 f(x)=Γ(x), 也就是 Γ(x)是唯一滿足以上條件的函數。

如下函數被稱為 Digamma 函數，

Ψ(x)=dlogΓ(x)dx

這也是一個很重要的函數，在涉及求Dirichlet 分布相關的參數的極大似然估計時，往往需要使用到這個函數。Digamma 函數具有如下一個漂亮的性質

Ψ(x+1)=Ψ(x)+1x

函數Ψ(x)和歐拉常數γ 以及 ζ 函數都有密切關系，令

 

Ψn(x)=dn+1logΓ(x)dxn+1

 

則 Ψ0(x)=Ψ(x),可以證明

Ψ(1)=−γ,Ψ(2)=1−γ

Ψ1(1)=ζ(2)=π26,Ψ2(1)=−2ζ(3)

所以Gamma 函數在數學上是很有魅力的，它在數學上應用廣泛，不僅能夠被一個理科本科生很好的理解，本身又足夠的深刻，具有很多漂亮的數學性質，歷史上吸引了眾多一流的數學家對它進行研究。美國數學家 Philip J.Davis 寫了篇很有名的介紹 Gamma 函數的文章：“Leonhard Euler’s Integral:A Historical Profile of the Gamma Function”，文中對 Gamma 函數一些特性發現的歷史進行了很詳細的描述，這篇文章獲得了 Chauvenet Prize(美國數學會頒發的數學科普最高獎)。

原文來源:	http://www.52nlp.cn/lda-math-神奇的gamma函數(2)
作  者:	rickjin(靳志輝“Ÿ)
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