Gamma函數
當n為正整數時，n的階乘定義如下：n! = n * (n - 1) * (n - 2) * … * 2 * 1。
當n不是整數時，n!為多少？我們先給出答案。
容易證明，Γ(x + 1) = x * Γ(x)，當n為正整數時，顯然有Γ(n) = (n – 1)!。
計算(1/2)!
先給一個神奇的公式，證明不詳述。
（1）
定義如下函數
令上式p = 1，q = 1/2，同時根據對稱性原理，有
（2）
同時容易證明
（3）
令p = 1/2，結合（2）（3）式，有
由於B關於q遞增，則
對m取極限，有
根據夾逼定理，則
即
結合公式（1），有
即
n!的通用公式
整數n!序列如下
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
| n! |
1 |
2 |
6 |
24 |
120 |
我們把這些點用光滑曲線連接起來，得到如下圖形
求n!的通用公式，即求該曲線的函數表達式。由於需要把階乘推廣到實數，所以最終求得的函數中不能包含階乘運算。
歐拉最終解決了n!通用公式的問題，他通過研究如下函數找到了解決辦法
此處 n 為正整數，e 為正實數。利用分部積分法，很容易證明
連續使用上面遞推公式，有
於是歐拉得到如下重要公式。
歐拉應用各種參數替換數學技巧與極限思想，成功推導出Gamma函數。
Gamma函數圖像如下
Gamma函數的應用
由於Gamma函數在實數域具有階乘性質：Γ(x + 1) = x * Γ(x)，所以可以把很多具有階乘性質得自然數應用推廣到實數域，離散特性推廣為連續特性。比如對函數的整數次求導推廣到實數次求導，二項分布推廣為Beta分布。Gamma函數與泊松分布等共軛，Gamma函數在數論以及高維空間計算球體積中也有應用。
參考：
http://www.flickering.cn/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E4%B9%8B%E7%BE%8E/2014/06/%E7%A5%9E%E5%A5%87%E7%9A%84%E4%BC%BD%E7%8E%9B%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%B8%8A/
http://www.flickering.cn/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E4%B9%8B%E7%BE%8E/2014/07/%E7%A5%9E%E5%A5%87%E7%9A%84%E4%BC%BD%E7%8E%9B%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%B8%8B/