本系列文章目錄：
上一篇文章 我們實現 Y 組合子，這篇文章討論 Θ 組合子的實現。（Θ 讀 Theta，希臘語第八個字母，小寫為 θ。）
繼續使用前文中的類型假定，假定遞歸函數：
- 參數為 int；
- 返回值為 long。
Θ 組合子
Θ 組合子也是一個常見不動點組合子，由 阿蘭·圖靈 發現，也稱為圖靈不動點組合子:
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Θ = (λx.λy.(y(x x y))) (λx.λy.(y(x x y))) |
傳值調用形式為（(x x y) η-展開為 λz. x x y z）：
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Θv = (λx.λy.(y(λz. x x y z))) (λx.λy.(y(λz. x x y z))) |
不過我還是喜歡把 y (x x y) η-展開為： λn.(y (x x y) n)，得出：
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Θ = (λx.λy.λn.(y(x x y) n)) (λx.λy.λn.(y(x x y) n)) |
定義一個中間變量 h，令：
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h = λx.λy.λn.(y(x x y)n) |
則：
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Θ = h h Θ = h(h) |
實現 h
確定 h 的類型
根據前文的推斷，Θ 的類型為 Func<Func<Func<int, long>, Func<int, long>>, Func<int, long>> , 這也是 h 返回值的類型。
h 可調用自身 h(h)，需要用到 上一篇文章 用的 SelfApplicable<TResult>委托：
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delgate TResult SelfApplicable<TResult>(SelfApplicable<TResult> self); |
h 的類型為：SelfApplicable<Func<Func<Func<int, long>, Func<int, long>>, Func<int, long>>>。
實現 h
對 h 作一步簡單變換：
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h = λx.λy.λn.(y(x x y)n) h = λx.λy.λn.(y(x(x)(y))(n) |
使用本系列第一篇文章總結出的規律，可寫出：
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SelfApplicable<Func<Func<Func<int, long>, Func<int, long>>, Func<int, long>>> h = x => y => n => y(x(x)(y))(n); |
實現 Θ
根據 Θ 的簡單式：
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Θ = h(h) |
可寫出：
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Func<Func<Func<int, long>, Func<int, long>>, Func<int, long>> Θ = h(h); |
與 h 的代碼放在一塊：
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SelfApplicable<Func<Func<Func<int, long>, Func<int, long>>, Func<int, long>>> h = x => y => n => y(x(x)(y))(n); Func<Func<Func<int, long>, Func<int, long>>, Func<int, long>> Θ = h(h); |
還記得 上一篇文章 最后給出的代嗎？（出處：http://blogs.msdn.com/b/madst/archive/2007/05/11/recursive-lambda-expressions.aspx）
比較下，看看是不是一回事的。
調用下試試：
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var factorial = Θ(f => x => x == 0 ? 1 : x * f(x - 1)); var result = factorial(5); // 120 |
封裝 Θ
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public class ThetaCombinator { public static Func<TInput, TResult> Fix<TInput, TResult>(Func<Func<TInput, TResult>, Func<TInput, TResult>> f) { return Theta<TInput, TResult>.Fix(f); } static class Theta<TInput, TResult> { delegate T SelfApplicable<T>(SelfApplicable<T> self); static readonly SelfApplicable<Func<Func<Func<TInput, TResult>, Func<TInput, TResult>>, Func<TInput, TResult>>> h = x => y => n => y(x(x)(y))(n); public static readonly Func<Func<Func<TInput, TResult>, Func<TInput, TResult>>, Func<TInput, TResult>> Fix = h(h); } } |
調用示例代碼：
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var factorial = ThetaCombinator.Fix<int, int>(f => n => n == 0 ? 1 : n * f(n - 1)); var result1 = factorial(5); // 120 var fibonacci = ThetaCombinator.Fix<int, int>(f => n => n < 2 ? n : f(n - 1) + f(n - 2)); var result2 = fibonacci(5); // 5 |
后記
http://blogs.msdn.com/b/madst/archive/2007/05/11/recursive-lambda-expressions.aspx 文中也給出了下面一種簡單到極致的寫法：
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Func<T, T> Fix<T>(Func<Func<T,T>, Func<T,T>> F) {
return t => F(Fix(F))(t);
} |
增加一個泛型參數並修改下參數的名稱，得出：
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Func<T, TResult> Fix<T, TResult>(Func<Func<T,TResult>, Func<T,TResult>> f) {
return t => f(Fix(f))(t);
} |