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上一篇文章介紹的 λ 演算是無類型的，對於 FIX、g 我們只知道：它們都是有獨個參數的函數，它們的參數本身也是一個只有單一參數的函數；同時，它們值是又一個只有單一參數的函數。
基於這種描述，是無法將 FIX、g 轉化為 c# 代碼的，我們需要推斷出 FIX、g 類型。
我們先做一些假定，基於假定進行推導，得出結論再抽象為通用類型。
遞歸參數及返回值類型假定
對於常見的遞歸函數，如：階乘、斐波那契數列求值，我們先作如下假定：
- 參數為 int 類型（Int32）；
- 返回值為 long 類型（Int64）。
基於假推斷各類型
FIX g 類型
根據上篇文章中的描述：
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FIX g = λn. (ISZERO n) 1 (MULT n ((FIX g) (PRED n))) FIX g 5 = 5 * (4 * (3 * (2 * (1 * 1))) = 120 |
FIX g 返回的是我們需要的遞歸函數，這個遞歸函數
- 接收一個 int 參數（上面假定第 1 條）值為 5
- 返回一個 long 型數值（上面假定第 2 條）120。
因此，確定出 FIX g 的類型可表示為 Func<int, long>。
同時也能看出 n 是遞歸函數的參數，n 類型為 int。
g 類型
階乘單步函數如下：
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g = λf. λn. (ISZERO n) 1 (MULT n (f (PRED n))) |
c# 中可表達為：g => f => n => n == 0 ? 1 : n * f(n – 1)
先來推斷 f 的類型：
- f 的參數：f 接收 n – 1 作為參數，因此，f 參數的類型和 n – 1 類型相同，即 n 的類型：int；
-
f 的返回值：為 0 時返回 1，否則返回 n * f(n-1)，f 的返回值類型也就是整個遞歸函數的返回值類型，即 long。
可確定 f 類型為 Func<int, long>。
n => n == 0 ? 1 : n * f(n – 1) 是傳入一個 int 返回一個 long，其類型 Func<int, long>。
先來變換下 g 的表示形式：
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var g = (Func<int, long> f) => { Func<int, long> t = n => n == 0 ? 1 : n * f(n - 1); return t; }; // 示意代碼 |
從上面這段代碼可以清楚到看出 g 接收一個 Func<int, long> 類型的參數 f，返回一個類型為 Func<int, long> 的委托，可得出：
g 的類型為 Func<Func<int, long>, Func<int, long>>
FIX 類型
FIX g 可寫作 FIX(g)，可以看出： FIX g 的類型 == FIX(g) 的類型 == FIX 返回值的類型。前面得知 FIX g 類型為 Func<int, long>，也就可推出 FIX 返回值類型為 Func<int, long>。
FIX 接受 g 作為參數，FIX 的參數類型也就是 g 的類型，可知 FIX 參數類型為 Func<Func<int, long>, Func<int, long>>。
由此得出 FIX 的類型為：Func<Func<Func<int, long>, Func<int, long>>, Func<int, long>>。
（估計這是多數開發人員見過的最復雜的泛型了。后面還在更復雜的吆！）
小結
| 名稱 | λ 演算表達式 | 數據類型 |
| 輸入參數 | n | int |
| 迭歸返回值 | FIX g n | long |
| 迭歸函數 | FIX g | Func<int, long> |
| 單步函數 | g | Func<Func<int, long>, Func<int, long>> |
| 不動點組合子 | FIX | Func<Func<Func<int, long>, Func<int, long>>, Func<int, long>> |
通用類型
基於以上部分的推演和小結，我們可以歸納出通用類型：
| 名稱 | λ 演算表達式 | 數據類型 |
| 輸入參數 | n | TInput |
| 迭歸返回值 | FIX g n | TResult |
| 迭歸函數 | FIX g | Func<TInput, TResult> |
| 單步函數 | g | Func<Func<TInput, TResult>, Func<TInput, TResult>> |
| 不動點組合子 | FIX | Func<Func<Func<TInput, TResult>, Func<TInput, TResult>>, Func<TInput, TResult>> |
基於本文推斷出的類型，不動點組合子轉換為 c# 代碼了不容易多了。下一篇文章 將以 Y 組合子為例進行說明。