線段樹求矩形面積並
經典題目，poj 1151 是相同的題目。終於學了求矩形面積並，詳細說一下。
首先是看小hh的線段樹專題，因為找不到什么論文來看所以只好啃他的代碼，啃了一個晚上，有感覺，但是不確定，只能輕輕體會到掃描線的意義。后來啃不下去了，就自己想，給想了出來，但是想出來居然是跟原始的方法不同的。所以下面說的是原始的方法（或者說是小hh代碼中的方法），以及我自己想出來的一種方法，兩種雖然不同，但是個人感覺本質還是差不多的，不過從效率上看，小hh的那種代碼應該效率更高。另外下面給出的代碼都是用線段樹來模擬掃描法，其實還有更好的方法就是用DP的思想去優化，據說效率提高不是一點兩點而是很多，但是還沒學，學完會繼續更新
分析:
1.矩形比較多，坐標也很大，所以橫坐標需要離散化（縱坐標不需要），熟悉離散化后這個步驟不難，所以這里不詳細講解了，不明白的還請百度
2.重點：掃描線法：假想有一條掃描線，從左往右（從右往左），或者從下往上（從上往下）掃描過整個多邊形（或者說畸形。。多個矩形疊加后的那個圖形）。如果是豎直方向上掃描，則是離散化橫坐標，如果是水平方向上掃描，則是離散化縱坐標。下面的分析都是離散化橫坐標的，並且從下往上掃描的。
掃描之前還需要做一個工作，就是保存好所有矩形的上下邊，並且按照它們所處的高度進行排序，另外如果是上邊我們給他一個值-1，下邊給他一個值1，我們用一個結構體來保存所有的上下邊
struct segment
{
double l,r,h; //l，r表示這條上下邊的左右坐標，h是這條邊所處的高度
int f; //所賦的值，1或-1
}
接着掃描線從下往上掃描，每遇到一條上下邊就停下來，將這條線段投影到總區間上（總區間就是整個多邊形橫跨的長度），這個投影對應的其實是個插入和刪除線段操作。還記得給他們賦的值1或-1嗎，下邊是1，掃描到下邊的話相當於往總區間插入一條線段，上邊-1，掃描到上邊相當於在總區間刪除一條線段（如果說插入刪除比較抽象，那么就直白說，掃描到下邊，投影到總區間，對應的那一段的值都要增1，掃描到上邊對應的那一段的值都要減1，如果總區間某一段的值為0，說明其實沒有線段覆蓋到它，為正數則有，那會不會為負數呢？是不可能的，可以自己思考一下）。
每掃描到一條上下邊后並投影到總區間后，就判斷總區間現在被覆蓋的總長度，然后用下一條邊的高度減去當前這條邊的高度，乘上總區間被覆蓋的長度，就能得到一塊面積，並依此做下去，就能得到最后的面積
（這個過程其實一點都不難，只是看文字較難體會，建議紙上畫圖，一畫即可明白，下面獻上一圖希望有幫組）
從這個圖，也可以感受到，就好比一個畸形的容器，往里面倒水，從最下面往上面漲，被水淹過的部分其實就是我們要求的面積
下面給出代碼
/* 1.保存矩形的上下邊界，並且重要的，記錄他們是屬於上還是下，然后按高度升序排序 2.保存豎線坐標，並且去重，是為了離散化 3.以保存的上下邊界數組去更新 */ #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; #define INF 0x3f3f3f3 #define MAX 110 #define LCH(i) ((i)<<1) #define RCH(i) ((i)<<1 | 1) struct segment //保存矩形上下邊界 { double l,r,h; //左右橫坐標，縱坐標 int f; //-1為下邊界，1為上邊界 }ss[2*MAX]; struct node //線段樹節點 { int l,r; int cnt; //該節點被覆蓋的情況 double len; //該區間被覆蓋的總長度 int mid() { return (l+r)>>1; } }tt[2*MAX*4]; double pos[2*MAX]; int nums; int cmp(struct segment a ,struct segment b) { return a.h<b.h; } void build(int a, int b ,int rt) { tt[rt].l=a; tt[rt].r=b; tt[rt].cnt=0; tt[rt].len=0; if(a==b) return ; int mid=tt[rt].mid(); build(a,mid,LCH(rt)); build(mid+1,b,RCH(rt)); } int binary(double key ,int low, int high) { while(low<=high) { int mid=(low+high)>>1; if(pos[mid] == key) return mid; else if(key < pos[mid]) high=mid-1; else low=mid+1; } return -1; } void get_len(int rt) { if(tt[rt].cnt) //非0，已經被整段覆蓋 tt[rt].len = pos[tt[rt].r+1] - pos[tt[rt].l]; else if(tt[rt].l == tt[rt].r) //已經不是一條線段 tt[rt].len = 0; else //是一條線段但是又沒有整段覆蓋，那么只能從左右孩子的信息中獲取 tt[rt].len = tt[LCH(rt)].len + tt[RCH(rt)].len ; } void updata(int a, int b ,int val ,int rt) { if(tt[rt].l==a && tt[rt].r==b) //目標區間 { tt[rt].cnt += val; //更新這個區間被覆蓋的情況 get_len(rt); //更新這個區間被覆蓋的總長度 return ; } int mid=tt[rt].mid(); if(b<=mid) //只訪問左孩子 updata(a,b,val,LCH(rt)); else if(a>mid) //只訪問有孩子 updata(a,b,val,RCH(rt)); else //左右都要訪問 { updata(a,mid,val,LCH(rt)); updata(mid+1,b,val,RCH(rt)); } get_len(rt); //計算該區間被覆蓋的總長度 } int main() { int Case=0; int n; while(scanf("%d",&n)!=EOF && n) { nums=0; for(int i=0; i<n; i++) { double x1,y1,x2,y2; scanf("%lf%lf%lf%lf",&x1,&y1,&x2,&y2); ss[nums].l=x1; ss[nums].r=x2; ss[nums].h=y1; ss[nums].f=1; //記錄上邊界的信息 ss[nums+1].l=x1; ss[nums+1].r=x2; ss[nums+1].h=y2; ss[nums+1].f=-1; //記錄下邊界的信息 pos[nums]=x1; pos[nums+1]=x2; //記錄橫坐標 nums += 2; } sort(ss,ss+nums,cmp); //橫線按縱坐標升序排序 sort(pos,pos+nums); //橫坐標升序排序 //for(int i=0; i<nums; i++) printf("%.2lf %.2lf %.2lf\n",ss[i].l,ss[i].r,ss[i].h); int m=1; for(int i=1; i<nums; i++) if(pos[i]!=pos[i-1]) //去重 pos[m++]=pos[i]; build(0,m-1,1); //離散化后的區間就是[0,m-1]，以此建樹 double ans=0; for(int i=0; i<nums; i++) //拿出每條橫線並且更新 { int l=binary(ss[i].l,0,m-1); int r=binary(ss[i].r,0,m-1)-1; updata(l,r,ss[i].f,1); //用這條線段去更新 ans += (ss[i+1].h-ss[i].h)*tt[1].len; //printf("%.2lf\n",ans); } printf("Test case #%d\n",++Case); printf("Total explored area: %.2f\n\n",ans); } return 0; }
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下面說一下我自己理解出來的一個方法，當時是還沒有明白上面的代碼及其思想的時候想出來的
1.離散化橫坐標，從下往上掃描上下邊，一樣要排序，一樣給下邊賦值1，上邊賦值-1
2.沒掃描到一條上下邊，把它投影到總區間，但不是算總區間被覆蓋的總長度。而是這條邊界投影后，看這條邊界對應的區間內，哪些部分對應的值變為了0（那個1和-1疊加后會變回0），變為0的部分就可以乘上高度差得到一小塊的面積
這種方法還要記錄一個值，就是總區間上每一段對應的最低高度，當某一段沒有被線段覆蓋時，它的最低高度是0，如果一旦被一個邊界覆蓋了，它的最低高度就是這條邊界的高度（而且可以知道這個邊界一定是下邊界，不會是上邊界首先覆蓋的，這個道理和上面的一樣），而已經被覆蓋的線段，如果再給其他邊界覆蓋，無論是增加還是消除，其最低高度都不變。除非是完全消掉，那么它的最低高度又變回0
這個過程其實也不難理解的，但是文字真心難理解，建議自己畫圖，很容易明白，下面再獻上一圖，希望有幫助
下面給出兩個代碼，都是實現上面的思想的，第一種用了LAZY思想，效率比第二個高，第二個是不加思索地深入到每一片葉子再求面積。但是在oj都跑出了0ms，只能說數據水了。。。
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; #define INF 0x3f3f3f3f #define MAX 110 #define LCH(i) ((i)<<1) #define RCH(i) ((i)<<1|1) struct segment { double l,r,h; int f; }ss[2*MAX]; struct node { int l,r; double h; int cnt; int mid() { return (l+r)>>1; } }tt[2*MAX*4]; double pos[2*MAX]; double ans; int nums; int cmp(struct segment a ,struct segment b) { return a.h<b.h; } void build(int a ,int b ,int rt) { tt[rt].l=a; tt[rt].r=b; tt[rt].h=0; tt[rt].cnt=INF; if(a==b) return ; int mid=tt[rt].mid(); build(a,mid,LCH(rt)); build(mid+1,b,RCH(rt)); } int binary(double key ,int low, int high) { while(low<=high) { int mid=(low+high)>>1; if(pos[mid] == key) return mid; else if(key < pos[mid]) high=mid-1; else low=mid+1; } return -1; } /* 一個線段進來，是將該線段對應的黨員的值都增加val，而不是變為val 所以並不是找到目標區間就停止了，而在找到了目標區間的基礎上，還要保證該區間各單元的值都相等 那么才可以成段更新，因此找到了目標區間還要繼續深入（而且可知深入進去都必定是目標區間的子區間） 在最后找到了可改變值的區間時，就進去求面積函數 */ void cal(int val ,int rt ,int n) { if(tt[rt].cnt + val == 0) //可以計算面積 { ans += (pos[tt[rt].r+1]-pos[tt[rt].l])*(ss[n].h-tt[rt].h); tt[rt].cnt=0; } else if(tt[rt].cnt == 0 && val==-1) //加入底線 { tt[rt].h=ss[n].h; tt[rt].cnt=-1; } else if(tt[rt].cnt==INF) { tt[rt].cnt = val; tt[rt].h=ss[n].h; } else tt[rt].cnt+=val; return ; } void updata(int a ,int b ,int val ,int rt , int n) { int mid; if(tt[rt].l==a && tt[rt].r==b) //找到了目標區間但是還不能改變區間值 { if(tt[rt].cnt!=INF || tt[rt].l==tt[rt].r) //整段的值都是一樣的，可以更新了 { cal(val,rt,n); //先進入求面積函數 } else //整段的值不同，那么還要繼續深入 { mid=tt[rt].mid(); updata(a,mid,val,LCH(rt),n); updata(mid+1,b,val,RCH(rt),n); } return ; } mid=tt[rt].mid(); if(tt[rt].cnt!=INF) //當前區間的數值是統一的，要傳遞給左右孩子 { tt[LCH(rt)].cnt=tt[RCH(rt)].cnt=tt[rt].cnt; tt[rt].cnt=INF; } if(b<=mid) //左孩子 updata(a,b,val,LCH(rt),n); else if(a>mid) updata(a,b,val,RCH(rt),n); else { updata(a,mid,val,LCH(rt),n); updata(mid+1,b,val,RCH(rt),n); } } int main() { int Case=0; int n; while(scanf("%d",&n)!=EOF && n) { double x1,x2,y1,y2; nums=0; for(int i=0; i<n; i++) { scanf("%lf%lf%lf%lf",&x1,&y1,&x2,&y2); ss[nums].l=x1; ss[nums].r=x2; ss[nums].h=y1; ss[nums].f=-1; ss[nums+1].l=x1; ss[nums+1].r=x2; ss[nums+1].h=y2; ss[nums+1].f=1; pos[nums]=x1; pos[nums+1]=x2; nums += 2; } sort(ss,ss+nums,cmp); sort(pos,pos+nums); int m=1; for(int i=1; i<nums; i++) if(pos[i]!=pos[i-1]) pos[m++]=pos[i]; build(0,m-1,1); ans=0; for(int i=0; i<nums; i++) //拿出每條橫線並且更新 { int l=binary(ss[i].l,0,m-1); int r=binary(ss[i].r,0,m-1)-1; updata(l,r,ss[i].f,1,i); //用這條線段去更新 //printf("%.2lf\n",ans); } printf("Test case #%d\n",++Case); printf("Total explored area: %.2lf\n\n",ans); } return 0; }
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; #define INF 0x3f3f3f3f #define MAX 110 int LCH(int n) { return n<<1; } int RCH(int n) { return n<<1|1; } struct segment { double l,r,h; int f; }ss[2*MAX]; struct node { int l,r; double h; int cnt; int mid() { return (l+r)>>1; } }tt[2*MAX*4]; double pos[2*MAX]; double ans; int nums; int cmp(struct segment a ,struct segment b) { return a.h<b.h; } void build(int a ,int b ,int rt) { tt[rt].l=a; tt[rt].r=b; tt[rt].h=0; tt[rt].cnt=0; if(a==b) return ; int mid=tt[rt].mid(); build(a,mid,LCH(rt)); build(mid+1,b,RCH(rt)); } int binary(double key ,int low, int high) { while(low<=high) { int mid=(low+high)>>1; if(pos[mid] == key) return mid; else if(key < pos[mid]) high=mid-1; else low=mid+1; } return -1; } void cal(int val ,int rt ,int n) { if(tt[rt].cnt==0 && val==-1) { tt[rt].cnt = val; tt[rt].h=ss[n].h; return ; } if(tt[rt].cnt + val == 0) { ans += (pos[tt[rt].r+1]-pos[tt[rt].l])*(ss[n].h-tt[rt].h); tt[rt].cnt=0; tt[rt].h=0; return ; } tt[rt].cnt += val; return ; } void updata(int a ,int b ,int val ,int rt ,int n) //一直更新到葉子 { if(tt[rt].l == tt[rt].r) //到達葉子 { cal(val,rt,n); return ; } int mid=tt[rt].mid(); if(b<=mid) //左孩子 updata(a,b,val,LCH(rt),n); else if(a>mid) //右孩子 updata(a,b,val,RCH(rt),n); else { updata(a,mid,val,LCH(rt),n); updata(mid+1,b,val,RCH(rt),n); } } int main() { int Case=0; int n; while(scanf("%d",&n)!=EOF && n) { double x1,x2,y1,y2; nums=0; for(int i=0; i<n; i++) { scanf("%lf%lf%lf%lf",&x1,&y1,&x2,&y2); ss[nums].l=x1; ss[nums].r=x2; ss[nums].h=y1; ss[nums].f=-1; ss[nums+1].l=x1; ss[nums+1].r=x2; ss[nums+1].h=y2; ss[nums+1].f=1; pos[nums]=x1; pos[nums+1]=x2; nums += 2; } sort(ss,ss+nums,cmp); sort(pos,pos+nums); int m=1; for(int i=1; i<nums; i++) if(pos[i]!=pos[i-1]) pos[m++]=pos[i]; build(0,m-1,1); ans=0; for(int i=0; i<nums; i++) //拿出每條橫線並且更新 { int l=binary(ss[i].l,0,m-1); int r=binary(ss[i].r,0,m-1)-1; updata(l,r,ss[i].f,1,i); //用這條線段去更新 //printf("%.2lf\n",ans); } printf("Test case #%d\n",++Case); printf("Total explored area: %.2f\n\n",ans); } return 0; }